Matemática discreta Exemplos

$f (x) = (- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15)$

Etapa 1

Encontre as intersecções com o eixo x.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para encontrar as intersecções com o eixo x, substitua $0$ por $y$ e resolva $x$ .

$0 = - x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$

Etapa 1.2

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva a equação como $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15 = 0$ .

$- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Etapa 1.2.2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Etapa 1.2.2.1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$- 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

Etapa 1.2.2.1.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

Etapa 1.2.2.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

Etapa 1.2.2.1.3.4

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$- 1 + 3 \cdot 1 + 13 \cdot 1 - 15$

Etapa 1.2.2.1.3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 1 + 3 + 13 \cdot 1 - 15$

Etapa 1.2.2.1.3.6

Some $- 1$ e $3$ .

$2 + 13 \cdot 1 - 15$

Etapa 1.2.2.1.3.7

Multiplique $13$ por $1$ .

$2 + 13 - 15$

Etapa 1.2.2.1.3.8

Some $2$ e $13$ .

$15 - 15$

Etapa 1.2.2.1.3.9

Subtraia $15$ de $15$ .

$0$

Etapa 1.2.2.1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15}{x - 1}$

Etapa 1.2.2.1.5

Divida $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ por $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$15$

Etapa 1.2.2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$

Etapa 1.2.2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 1.2.2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{3} + x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 1.2.2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Etapa 1.2.2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$

Etapa 1.2.2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$

Etapa 1.2.2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 1.2.2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{2} - 2 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 1.2.2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$

Etapa 1.2.2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$

Etapa 1.2.2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $15 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$

Etapa 1.2.2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	-	$15$

Etapa 1.2.2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $15 x - 15$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$

Etapa 1.2.2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$
										$0$

Etapa 1.2.2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- x^{2} + 2 x + 15$

Etapa 1.2.2.1.6

Escreva $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ como um conjunto de fatores.

$(x - 1) (- x^{2} + 2 x + 15) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ e cuja soma é $b = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$(x - 1) (- x^{2} + 2 (x) + 15) = 0$

Etapa 1.2.2.2.1.1.2

Reescreva $2$ como $- 3$ mais $5$

$(x - 1) (- x^{2} + (- 3 + 5) x + 15) = 0$

Etapa 1.2.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x - 1) (- x^{2} - 3 x + 5 x + 15) = 0$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 1) ((- x^{2} - 3 x) + 5 x + 15) = 0$

Etapa 1.2.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 1) (x (- x - 3) - 5 (- x - 3)) = 0$

Etapa 1.2.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 3$ .

$(x - 1) ((- x - 3) (x - 5)) = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) (- x - 3) (x - 5) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$- x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.2.5

Defina $- x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $- x - 3$ como igual a $0$ .

$- x - 3 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $- x - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$- x = 3$

Etapa 1.2.5.2.2

Divida cada termo em $- x = 3$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.1

Divida cada termo em $- x = 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

Etapa 1.2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{3}{- 1}$

Etapa 1.2.5.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{- 1}$

Etapa 1.2.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.3.1

Divida $3$ por $- 1$ .

$x = - 3$

Etapa 1.2.6

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (- x - 3) (x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - 3, 5$

Etapa 1.3

intersecções com o eixo x na forma do ponto.

intersecções com o eixo x: $(1, 0), (- 3, 0), (5, 0)$

Etapa 2

Encontre as intersecções com o eixo y.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para encontrar as intersecções com o eixo y, substitua $0$ por $x$ e resolva $y$ .

$y = - {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Etapa 2.2

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Remova os parênteses.

$y = - {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses.

$y = - 0^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Etapa 2.2.3

Remova os parênteses.

$y = - 0^{3} + 3 \cdot 0^{2} + 13 (0) - 15$

Etapa 2.2.4

Remova os parênteses.

$y = - {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Etapa 2.2.5

Simplifique $- {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = - 0 + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Etapa 2.2.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$y = 0 + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Etapa 2.2.5.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 + 3 \cdot 0 + 13 (0) - 15$

Etapa 2.2.5.1.4

Multiplique $3$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 13 (0) - 15$

Etapa 2.2.5.1.5

Multiplique $13$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 15$

Etapa 2.2.5.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.1

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 - 15$

Etapa 2.2.5.2.2

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 - 15$

Etapa 2.2.5.2.3

Subtraia $15$ de $0$ .

$y = - 15$

Etapa 2.3

intersecções com o eixo y na forma do ponto.

intersecções com o eixo y: $(0, - 15)$

Etapa 3

Liste as intersecções.

intersecções com o eixo x: $(1, 0), (- 3, 0), (5, 0)$

intersecções com o eixo y: $(0, - 15)$

Etapa 4