Matemática discreta Exemplos

$f (x) = 0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4$

Etapa 1

Encontre as intersecções com o eixo x.

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Etapa 1.1

Para encontrar as intersecções com o eixo x, substitua $0$ por $y$ e resolva $x$ .

$0 = 0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4$

Etapa 1.2

Resolva a equação.

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Etapa 1.2.1

Reescreva a equação como $0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4 = 0$ .

$0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $0.1$ de $0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4$ .

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Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $0.1$ de $0.1 x^{3}$ .

$0.1 (x^{3}) - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4 = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $0.1$ de $- 0.3 x^{2}$ .

$0.1 (x^{3}) + 0.1 (- 3 x^{2}) - 1.8 x + 4 = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $0.1$ de $- 1.8 x$ .

$0.1 (x^{3}) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (- 18 x) + 4 = 0$

Etapa 1.2.2.1.4

Fatore $0.1$ de $4$ .

$0.1 x^{3} + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (- 18 x) + 0.1 \cdot 40 = 0$

Etapa 1.2.2.1.5

Fatore $0.1$ de $0.1 x^{3} + 0.1 (- 3 x^{2})$ .

$0.1 (x^{3} - 3 x^{2}) + 0.1 (- 18 x) + 0.1 \cdot 40 = 0$

Etapa 1.2.2.1.6

Fatore $0.1$ de $0.1 (x^{3} - 3 x^{2}) + 0.1 (- 18 x)$ .

$0.1 (x^{3} - 3 x^{2} - 18 x) + 0.1 \cdot 40 = 0$

Etapa 1.2.2.1.7

Fatore $0.1$ de $0.1 (x^{3} - 3 x^{2} - 18 x) + 0.1 \cdot 40$ .

$0.1 (x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.2.2.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

$q = \pm 1$

Etapa 1.2.2.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

Etapa 1.2.2.2.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.2.2.2.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 18 \cdot 2 + 40$

Etapa 1.2.2.2.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 - 3 \cdot 2^{2} - 18 \cdot 2 + 40$

Etapa 1.2.2.2.3.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$8 - 3 \cdot 4 - 18 \cdot 2 + 40$

Etapa 1.2.2.2.3.4

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$8 - 12 - 18 \cdot 2 + 40$

Etapa 1.2.2.2.3.5

Subtraia $12$ de $8$ .

$- 4 - 18 \cdot 2 + 40$

Etapa 1.2.2.2.3.6

Multiplique $- 18$ por $2$ .

$- 4 - 36 + 40$

Etapa 1.2.2.2.3.7

Subtraia $36$ de $- 4$ .

$- 40 + 40$

Etapa 1.2.2.2.3.8

Some $- 40$ e $40$ .

$0$

Etapa 1.2.2.2.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40}{x - 2}$

Etapa 1.2.2.2.5

Divida $x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ por $x - 2$ .

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Etapa 1.2.2.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$40$

Etapa 1.2.2.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$

Etapa 1.2.2.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 1.2.2.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 1.2.2.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Etapa 1.2.2.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$

Etapa 1.2.2.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$

Etapa 1.2.2.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 1.2.2.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{2} + 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 1.2.2.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$

Etapa 1.2.2.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$

Etapa 1.2.2.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 20 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$

Etapa 1.2.2.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$
							-	$20 x$	+	$40$

Etapa 1.2.2.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 20 x + 40$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$
							+	$20 x$	-	$40$

Etapa 1.2.2.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$
							+	$20 x$	-	$40$
										$0$

Etapa 1.2.2.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - x - 20$

Etapa 1.2.2.2.6

Escreva $x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ como um conjunto de fatores.

$0.1 ((x - 2) (x^{2} - x - 20)) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore.

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Etapa 1.2.2.3.1

Fatore $x^{2} - x - 20$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.2.3.1.1

Fatore $x^{2} - x - 20$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.2.3.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 20$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 5, 4$

Etapa 1.2.2.3.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$0.1 ((x - 2) ((x - 5) (x + 4))) = 0$

Etapa 1.2.2.3.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$0.1 ((x - 2) (x - 5) (x + 4)) = 0$

Etapa 1.2.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$0.1 (x - 2) (x - 5) (x + 4) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 1.2.6

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.6.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $0.1 (x - 2) (x - 5) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, 5, - 4$

Etapa 1.3

intersecções com o eixo x na forma do ponto.

intersecções com o eixo x: $(2, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

Etapa 2

Encontre as intersecções com o eixo y.

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Etapa 2.1

Para encontrar as intersecções com o eixo y, substitua $0$ por $x$ e resolva $y$ .

$y = 0.1 {(0)}^{3} - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Etapa 2.2

Resolva a equação.

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Etapa 2.2.1

Remova os parênteses.

$y = 0.1 \cdot 0^{3} - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses.

$y = 0.1 \cdot 0^{3} - 0.3 \cdot 0^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Etapa 2.2.3

Remova os parênteses.

$y = 0.1 {(0)}^{3} - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Etapa 2.2.4

Simplifique $0.1 {(0)}^{3} - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$ .

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Etapa 2.2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0.1 \cdot 0 - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Etapa 2.2.4.1.2

Multiplique $0.1$ por $0$ .

$y = 0 - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Etapa 2.2.4.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 - 0.3 \cdot 0 - 1.8 \cdot 0 + 4$

Etapa 2.2.4.1.4

Multiplique $- 0.3$ por $0$ .

$y = 0 + 0 - 1.8 \cdot 0 + 4$

Etapa 2.2.4.1.5

Multiplique $- 1.8$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 4$

Etapa 2.2.4.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 2.2.4.2.1

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 + 4$

Etapa 2.2.4.2.2

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 4$

Etapa 2.2.4.2.3

Some $0$ e $4$ .

$y = 4$

Etapa 2.3

intersecções com o eixo y na forma do ponto.

intersecções com o eixo y: $(0, 4)$

Etapa 3

Liste as intersecções.

intersecções com o eixo x: $(2, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

intersecções com o eixo y: $(0, 4)$

Etapa 4