Matemática discreta Exemplos

$x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$

Etapa 1

Escreva $x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$ como uma equação.

$y = x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$

Etapa 2

Encontre as intersecções com o eixo x.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para encontrar as intersecções com o eixo x, substitua $0$ por $y$ e resolva $x$ .

$0 = x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$

Etapa 2.2

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Reescreva a equação como $x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11 = 0$ .

$x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Reagrupe os termos.

$10 x^{3} - 10 x + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Etapa 2.2.2.2

Fatore $10 x$ de $10 x^{3} - 10 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Fatore $10 x$ de $10 x^{3}$ .

$10 x (x^{2}) - 10 x + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Etapa 2.2.2.2.2

Fatore $10 x$ de $- 10 x$ .

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Etapa 2.2.2.2.3

Fatore $10 x$ de $10 x (x^{2}) + 10 x (- 1)$ .

$10 x (x^{2} - 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Etapa 2.2.2.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$10 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Etapa 2.2.2.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$10 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Etapa 2.2.2.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$10 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Etapa 2.2.2.5

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Etapa 2.2.2.6

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 12 u + 11 = 0$

Etapa 2.2.2.7

Fatore $u^{2} - 12 u + 11$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.7.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $11$ e cuja soma é $- 12$ .

$- 11, - 1$

Etapa 2.2.2.7.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$10 x (x + 1) (x - 1) + (u - 11) (u - 1) = 0$

Etapa 2.2.2.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 1) = 0$

Etapa 2.2.2.9

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Etapa 2.2.2.10

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.10.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 2.2.2.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 2.2.2.11

Fatore $(x + 1) (x - 1)$ de $10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.11.1

Fatore $(x + 1) (x - 1)$ de $10 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 2.2.2.11.2

Fatore $(x + 1) (x - 1)$ de $(x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 11) = 0$

Etapa 2.2.2.11.3

Fatore $(x + 1) (x - 1)$ de $(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 11)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x + x^{2} - 11) = 0$

Etapa 2.2.2.12

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 u + u^{2} - 11) = 0$

Etapa 2.2.2.13

Fatore $10 u + u^{2} - 11$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.13.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 11$ e cuja soma é $10$ .

$- 1, 11$

Etapa 2.2.2.13.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 1) (x - 1) ((u - 1) (u + 11)) = 0$

Etapa 2.2.2.14

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.14.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x - 1) (x + 11)) = 0$

Etapa 2.2.2.14.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 1) (x - 1) (x - 1) (x + 11) = 0$

Etapa 2.2.2.15

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.15.1

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1)) (x + 11) = 0$

Etapa 2.2.2.15.2

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1)) (x + 11) = 0$

Etapa 2.2.2.15.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x + 1) {(x - 1)}^{1 + 1} (x + 11) = 0$

Etapa 2.2.2.15.4

Some $1$ e $1$ .

$(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 11) = 0$

Etapa 2.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 11 = 0$

Etapa 2.2.4

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.2.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.2.5

Defina ${(x - 1)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Defina ${(x - 1)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 2.2.5.2

Resolva ${(x - 1)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.2.5.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.2.6

Defina $x + 11$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Defina $x + 11$ como igual a $0$ .

$x + 11 = 0$

Etapa 2.2.6.2

Subtraia $11$ dos dois lados da equação.

$x = - 11$

Etapa 2.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 11) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 1, - 11$

Etapa 2.3

intersecções com o eixo x na forma do ponto.

intersecções com o eixo x: $(- 1, 0), (1, 0), (- 11, 0)$

Etapa 3

Encontre as intersecções com o eixo y.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Para encontrar as intersecções com o eixo y, substitua $0$ por $x$ e resolva $y$ .

$y = {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Etapa 3.2

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 0^{4} + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Etapa 3.2.2

Remova os parênteses.

$y = 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Etapa 3.2.3

Remova os parênteses.

$y = 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} - 12 \cdot 0^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Etapa 3.2.4

Remova os parênteses.

$y = {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Etapa 3.2.5

Simplifique ${(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Etapa 3.2.5.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 + 10 \cdot 0 - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Etapa 3.2.5.1.3

Multiplique $10$ por $0$ .

$y = 0 + 0 - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Etapa 3.2.5.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 + 0 - 12 \cdot 0 - 10 \cdot 0 + 11$

Etapa 3.2.5.1.5

Multiplique $- 12$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 10 \cdot 0 + 11$

Etapa 3.2.5.1.6

Multiplique $- 10$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 11$

Etapa 3.2.5.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.2.1

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 11$

Etapa 3.2.5.2.2

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 + 11$

Etapa 3.2.5.2.3

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 11$

Etapa 3.2.5.2.4

Some $0$ e $11$ .

$y = 11$

Etapa 3.3

intersecções com o eixo y na forma do ponto.

intersecções com o eixo y: $(0, 11)$

Etapa 4

Liste as intersecções.

intersecções com o eixo x: $(- 1, 0), (1, 0), (- 11, 0)$

intersecções com o eixo y: $(0, 11)$

Etapa 5