Matemática discreta Exemplos

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$

Etapa 1

Encontre as intersecções com o eixo x.

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Etapa 1.1

Para encontrar as intersecções com o eixo x, substitua $0$ por $y$ e resolva $x$ .

$0 = x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$

Etapa 1.2

Resolva a equação.

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Etapa 1.2.1

Reescreva a equação como $x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39 = 0$ .

$x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.2.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 39, \pm 3, \pm 13$

$q = \pm 1$

Etapa 1.2.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 39, \pm 3, \pm 13$

Etapa 1.2.2.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.2.2.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

${(- 1)}^{3} + 5 {(- 1)}^{2} - 35 \cdot - 1 - 39$

Etapa 1.2.2.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 1 + 5 {(- 1)}^{2} - 35 \cdot - 1 - 39$

Etapa 1.2.2.3.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 1 + 5 \cdot 1 - 35 \cdot - 1 - 39$

Etapa 1.2.2.3.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$- 1 + 5 - 35 \cdot - 1 - 39$

Etapa 1.2.2.3.5

Some $- 1$ e $5$ .

$4 - 35 \cdot - 1 - 39$

Etapa 1.2.2.3.6

Multiplique $- 35$ por $- 1$ .

$4 + 35 - 39$

Etapa 1.2.2.3.7

Some $4$ e $35$ .

$39 - 39$

Etapa 1.2.2.3.8

Subtraia $39$ de $39$ .

$0$

Etapa 1.2.2.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39}{x + 1}$

Etapa 1.2.2.5

Divida $x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$ por $x + 1$ .

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Etapa 1.2.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$35 x$

$39$

Etapa 1.2.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$

Etapa 1.2.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 1.2.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 1.2.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Etapa 1.2.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$

Etapa 1.2.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$

Etapa 1.2.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Etapa 1.2.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{2} + 4 x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Etapa 1.2.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$

Etapa 1.2.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$

Etapa 1.2.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 39 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$

Etapa 1.2.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$
							-	$39 x$	-	$39$

Etapa 1.2.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 39 x - 39$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$
							+	$39 x$	+	$39$

Etapa 1.2.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$
							+	$39 x$	+	$39$
										$0$

Etapa 1.2.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + 4 x - 39$

Etapa 1.2.2.6

Escreva $x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$ como um conjunto de fatores.

$(x + 1) (x^{2} + 4 x - 39) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} + 4 x - 39 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.5

Defina $x^{2} + 4 x - 39$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x^{2} + 4 x - 39$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 4 x - 39 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $x^{2} + 4 x - 39 = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.2.5.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 4$ e $c = - 39$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 39)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.3

Simplifique.

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Etapa 1.2.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.5.2.3.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 39$ .

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Etapa 1.2.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 39$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 156}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.3

Some $16$ e $156$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{172}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.4

Reescreva $172$ como $2^{2} \cdot 43$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.3.1.4.1

Fatore $4$ de $172$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (43)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 43}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$

Etapa 1.2.5.2.3.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{43}$

Etapa 1.2.5.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 1.2.5.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.4.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 39$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 39$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 156}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.3

Some $16$ e $156$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{172}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.4

Reescreva $172$ como $2^{2} \cdot 43$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.4.1.4.1

Fatore $4$ de $172$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (43)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 43}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$

Etapa 1.2.5.2.4.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{43}$

Etapa 1.2.5.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{43}$

Etapa 1.2.5.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 1.2.5.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.5.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 39$ .

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Etapa 1.2.5.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 39$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 156}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.3

Some $16$ e $156$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{172}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.4

Reescreva $172$ como $2^{2} \cdot 43$ .

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Etapa 1.2.5.2.5.1.4.1

Fatore $4$ de $172$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (43)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 43}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$

Etapa 1.2.5.2.5.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{43}$

Etapa 1.2.5.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{43}$

Etapa 1.2.5.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 2 + \sqrt{43}, - 2 - \sqrt{43}$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x^{2} + 4 x - 39) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, - 2 + \sqrt{43}, - 2 - \sqrt{43}$

Etapa 1.3

intersecções com o eixo x na forma do ponto.

intersecções com o eixo x: $(- 1, 0), (- 2 + \sqrt{43}, 0), (- 2 - \sqrt{43}, 0)$

Etapa 2

Encontre as intersecções com o eixo y.

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Etapa 2.1

Para encontrar as intersecções com o eixo y, substitua $0$ por $x$ e resolva $y$ .

$y = {(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

Etapa 2.2

Resolva a equação.

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Etapa 2.2.1

Remova os parênteses.

$y = 0^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses.

$y = 0^{3} + 5 \cdot 0^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

Etapa 2.2.3

Remova os parênteses.

$y = {(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

Etapa 2.2.4

Simplifique ${(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$ .

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Etapa 2.2.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

Etapa 2.2.4.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 + 5 \cdot 0 - 35 \cdot 0 - 39$

Etapa 2.2.4.1.3

Multiplique $5$ por $0$ .

$y = 0 + 0 - 35 \cdot 0 - 39$

Etapa 2.2.4.1.4

Multiplique $- 35$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 39$

Etapa 2.2.4.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.1

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 - 39$

Etapa 2.2.4.2.2

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 - 39$

Etapa 2.2.4.2.3

Subtraia $39$ de $0$ .

$y = - 39$

Etapa 2.3

intersecções com o eixo y na forma do ponto.

intersecções com o eixo y: $(0, - 39)$

Etapa 3

Liste as intersecções.

intersecções com o eixo x: $(- 1, 0), (- 2 + \sqrt{43}, 0), (- 2 - \sqrt{43}, 0)$

intersecções com o eixo y: $(0, - 39)$

Etapa 4