Matemática discreta Exemplos

$y = e^{- x} \cdot \ln (x)$

Etapa 1

Encontre as assíntotas.

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Etapa 1.1

Encontre onde a expressão $e^{- x} \cdot \ln (x)$ é indefinida.

$x \leq 0$

Etapa 1.2

$e^{- x} \cdot \ln (x)$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da esquerda e $e^{- x} \cdot \ln (x)$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 0$

Etapa 1.3

Avalie $lim_{x \to \infty} e^{- x} \ln (x)$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 1.3.1

Reescreva $e^{- x} \ln (x)$ como $\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}}$

Etapa 1.3.2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.3.2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.3.2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Etapa 1.3.2.1.2

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Etapa 1.3.2.1.3

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.3.2.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.3.2.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Etapa 1.3.2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Etapa 1.3.2.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Etapa 1.3.2.3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}$

Etapa 1.3.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

Etapa 1.3.2.5

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}$

Etapa 1.3.3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x e^{x}}$ se aproxima de $0$ .

$0$

Etapa 1.4

Liste as assíntotas horizontais:

$y = 0$

Etapa 1.5

Não há assíntotas oblíquas presentes para as funções logarítmicas e trigonométricas.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 1.6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 0$

Assíntotas horizontais: $y = 0$

Assíntotas verticais: $x = 0$

Assíntotas horizontais: $y = 0$

Etapa 2

Encontre o ponto em $x = 1$ .

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = e^{- (1)} \cdot \ln (1)$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = e^{- 1} \cdot \ln (1)$

Etapa 2.2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1)$

Etapa 2.2.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$f (1) = \frac{1}{e} \cdot 0$

Etapa 2.2.4

Multiplique $\frac{1}{e}$ por $0$ .

$f (1) = 0$

Etapa 2.2.5

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 2.3

Converta $0$ em decimal.

$y = 0$

Etapa 3

Encontre o ponto em $x = 2$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = e^{- (2)} \cdot \ln (2)$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (2) = e^{- 2} \cdot \ln (2)$

Etapa 3.2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = \frac{1}{e^{2}} \cdot \ln (2)$

Etapa 3.2.3

Combine $\frac{1}{e^{2}}$ e $\ln (2)$ .

$f (2) = \frac{\ln (2)}{e^{2}}$

Etapa 3.2.4

A resposta final é $\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ .

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$

Etapa 3.3

Converta $\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ em decimal.

$y = 0.09380727$

Etapa 4

Encontre o ponto em $x = 3$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = e^{- (3)} \cdot \ln (3)$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f (3) = e^{- 3} \cdot \ln (3)$

Etapa 4.2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (3) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (3)$

Etapa 4.2.3

Combine $\frac{1}{e^{3}}$ e $\ln (3)$ .

$f (3) = \frac{\ln (3)}{e^{3}}$

Etapa 4.2.4

A resposta final é $\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ .

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$

Etapa 4.3

Converta $\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ em decimal.

$y = 0.05469668$

Etapa 5

A função do logaritmo pode ser representada graficamente usando a assíntota vertical em $x = 0$ e os pontos $(1, 0), (2, 0.09380727), (3, 0.05469668)$ .

Assíntota vertical: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.094 \\ 3 & 0.055 \end{array}$

Etapa 6