Matemática discreta Exemplos

$y = \frac{5 \ln (x + 5)}{x^{2}}$

Etapa 1

Encontre as assíntotas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre onde a expressão $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ é indefinida.

$x \leq - 5, x = 0$

Etapa 1.2

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- 5$ a partir da esquerda e $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- 5$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - 5$

Etapa 1.3

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da esquerda e $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 0$

Etapa 1.4

Liste todas as assíntotas verticais:

$x = - 5, 0$

Etapa 1.5

Ignorando o algoritmo, considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 1.6

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 0$

$m = 2$

Etapa 1.7

Como $n < m$ , o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

$y = 0$

Etapa 1.8

Não há assíntotas oblíquas presentes para as funções logarítmicas e trigonométricas.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 1.9

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 5, 0$

Assíntotas horizontais: $y = 0$

Assíntotas verticais: $x = - 5, 0$

Assíntotas horizontais: $y = 0$

Etapa 2

Encontre o ponto em $x = 1$ .

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{5 \ln ((1) + 5)}{{(1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Simplifique $5 \ln (1 + 5)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1^{2}}$

Etapa 2.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.3.1

Some $1$ e $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (6^{5})}{1}$

Etapa 2.2.3.2

Eleve $6$ à potência de $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (7776)}{1}$

Etapa 2.2.4

Divida $\ln (7776)$ por $1$ .

$f (1) = \ln (7776)$

Etapa 2.2.5

A resposta final é $\ln (7776)$ .

$\ln (7776)$

Etapa 2.3

Converta $\ln (7776)$ em decimal.

$y = 8.95879734$

Etapa 3

Encontre o ponto em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \frac{5 \ln ((2) + 5)}{{(2)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique $5 \ln (2 + 5)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{2^{2}}$

Etapa 3.2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{4}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Some $2$ e $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (7^{5})}{4}$

Etapa 3.2.3.2

Eleve $7$ à potência de $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (16807)}{4}$

Etapa 3.2.4

Reescreva $\frac{\ln (16807)}{4}$ como $\frac{1}{4} \ln (16807)$ .

$f (2) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16807)$

Etapa 3.2.5

Simplifique $\frac{1}{4} \ln (16807)$ movendo $\frac{1}{4}$ para dentro do logaritmo.

$f (2) = \ln (16807^{\frac{1}{4}})$

Etapa 3.2.6

A resposta final é $\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ .

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$

Etapa 3.3

Converta $\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ em decimal.

$y = 2.43238768$

Etapa 4

Encontre o ponto em $x = 3$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = \frac{5 \ln ((3) + 5)}{{(3)}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique $5 \ln (3 + 5)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{3^{2}}$

Etapa 4.2.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{9}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Some $3$ e $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (8^{5})}{9}$

Etapa 4.2.3.2

Eleve $8$ à potência de $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (32768)}{9}$

Etapa 4.2.4

Reescreva $\ln (32768)$ como $\ln (2^{15})$ .

$f (3) = \frac{\ln (2^{15})}{9}$

Etapa 4.2.5

Expanda $\ln (2^{15})$ movendo $15$ para fora do logaritmo.

$f (3) = \frac{15 \ln (2)}{9}$

Etapa 4.2.6

Cancele o fator comum de $15$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1

Fatore $3$ de $15 \ln (2)$ .

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{9}$

Etapa 4.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 (3)}$

Etapa 4.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 \cdot 3}$

Etapa 4.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (3) = \frac{5 \ln (2)}{3}$

Etapa 4.2.7

Simplifique $5 \ln (2)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$f (3) = \frac{\ln (2^{5})}{3}$

Etapa 4.2.8

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (32)}{3}$

Etapa 4.2.9

Reescreva $\frac{\ln (32)}{3}$ como $\frac{1}{3} \ln (32)$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (32)$

Etapa 4.2.10

Simplifique $\frac{1}{3} \ln (32)$ movendo $\frac{1}{3}$ para dentro do logaritmo.

$f (3) = \ln (32^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.2.11

A resposta final é $\ln (32^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.3

Converta $\ln (32^{\frac{1}{3}})$ em decimal.

$y = 1.1552453$

Etapa 5

A função do logaritmo pode ser representada graficamente usando a assíntota vertical em $x = - 5, 0$ e os pontos $(1, 8.95879734), (2, 2.43238768), (3, 1.1552453)$ .

Assíntota vertical: $x = - 5, 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 8.959 \\ 2 & 2.432 \\ 3 & 1.155 \end{array}$

Etapa 6