Matemática discreta Exemplos

$x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y = 11$

Etapa 1

Subtraia $11$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y - 11 = 0$

Etapa 2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 2$ e $c = y^{2} + 4 y - 11$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} + 4 y - 11))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4 y - 11)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (y^{2} + 4 y - 11)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 y^{2} - 4 (4 y) - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

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Etapa 4.1.4.1

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 y^{2} - 16 y - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.4.2

Multiplique $- 4$ por $- 11$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 y^{2} - 16 y + 44}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.5

Some $4$ e $44$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4 y^{2} - 16 y + 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6

Reescreva $- 4 y^{2} - 16 y + 48$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.1.6.1

Fatore $4$ de $- 4 y^{2} - 16 y + 48$ .

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Etapa 4.1.6.1.1

Fatore $4$ de $- 4 y^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) - 16 y + 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.1.2

Fatore $4$ de $- 16 y$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (- 4 y) + 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.1.3

Fatore $4$ de $48$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (- 4 y) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.1.4

Fatore $4$ de $4 (- y^{2}) + 4 (- 4 y)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 4 y) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.1.5

Fatore $4$ de $4 (- y^{2} - 4 y) + 4 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 4 y + 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.1.6.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ e cuja soma é $b = - 4$ .

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Etapa 4.1.6.2.1.1

Fatore $- 4$ de $- 4 y$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 4 y + 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.2.1.2

Reescreva $- 4$ como $2$ mais $- 6$

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + (2 - 6) y + 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 2 y - 6 y + 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.1.6.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- y^{2} + 2 y) - 6 y + 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (y (- y + 2) + 6 (- y + 2))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- y + 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- y + 2) (y + 6))}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y + 2) (y + 6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.7

Reescreva $4 (- y + 2) (y + 6)$ como $2^{2} ((- y + 2) (y + 6))$ .

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Etapa 4.1.7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (- y + 2) (y + 6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.7.2

Adicione parênteses.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} ((- y + 2) (y + 6))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}$

Etapa 5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 1 + \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}$

$x = - 1 - \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}$