Matemática discreta Exemplos

$\log_{b} (x) = \frac{3}{2} \cdot \log_{b} (9) - \frac{2}{3} \cdot \log_{b} (27)$

Etapa 1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $\log_{b} (9)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{2}{3} \log_{b} (27)$

Etapa 1.1.2

Combine $\log_{b} (27)$ e $\frac{2}{3}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{\log_{b} (27) \cdot 2}{3}$

Etapa 1.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $\log_{b} (27)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{2 \log_{b} (27)}{3}$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{2 \log_{b} (27)}{3}$ por $6$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{2 \log_{b} (27)}{3}$ por $6$ .

$\log_{b} (x) \cdot 6 = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Mova $6$ para a esquerda de $\log_{b} (x)$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} \cdot (2 (3)) - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Etapa 2.3.1.1.2

Cancele o fator comum.

$6 \log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Etapa 2.3.1.1.3

Reescreva a expressão.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (9) \cdot 3 - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Etapa 2.3.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.3.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 \log_{b} (27)}{3}$ para o numerador.

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) + \frac{- 2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Etapa 2.3.1.3.2

Fatore $3$ de $6$ .

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) + \frac{- 2 \log_{b} (27)}{3} \cdot (3 (2))$

Etapa 2.3.1.3.3

Cancele o fator comum.

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) + \frac{- 2 \log_{b} (27)}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Etapa 2.3.1.3.4

Reescreva a expressão.

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) - 2 \log_{b} (27) \cdot 2$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) - 4 \log_{b} (27)$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Simplifique $6 \log_{b} (x)$ movendo $6$ para dentro do logaritmo.

$\log_{b} (x^{6}) = 9 \log_{b} (9) - 4 \log_{b} (27)$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1

Simplifique $9 \log_{b} (9) - 4 \log_{b} (27)$ .

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Etapa 4.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1.1

Simplifique $9 \log_{b} (9)$ movendo $9$ para dentro do logaritmo.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (9^{9}) - 4 \log_{b} (27)$

Etapa 4.1.1.2

Eleve $9$ à potência de $9$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (387420489) - 4 \log_{b} (27)$

Etapa 4.1.1.3

Simplifique $- 4 \log_{b} (27)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (387420489) - \log_{b} (27^{4})$

Etapa 4.1.1.4

Eleve $27$ à potência de $4$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (387420489) - \log_{b} (531441)$

Etapa 4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{387420489}{531441})$

Etapa 4.1.3

Divida $387420489$ por $531441$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (729)$

Etapa 5

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$x^{6} = 729$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{729}$

Etapa 6.2

Simplifique $\pm \sqrt[6]{729}$ .

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Etapa 6.2.1

Reescreva $729$ como $3^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{3^{6}}$

Etapa 6.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 3$

Etapa 6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3$

Etapa 6.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3$

Etapa 6.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3, - 3$