Matemática discreta Exemplos

$y = \frac{9}{x^{2} - 1}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\frac{9}{x^{2} - 1} = y$ .

$\frac{9}{x^{2} - 1} = y$

Etapa 2

Fatore cada termo.

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Etapa 2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{9}{x^{2} - 1^{2}} = y$

Etapa 2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} = y$

Etapa 3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$(x + 1) (x - 1), 1$

Etapa 3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$(x + 1) (x - 1)$

Etapa 4

Multiplique cada termo em $\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} = y$ por $(x + 1) (x - 1)$ para eliminar as frações.

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Etapa 4.1

Multiplique cada termo em $\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} = y$ por $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = y ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $(x + 1) (x - 1)$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = y ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$9 = y ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$9 = y (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Etapa 4.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$9 = y (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Etapa 4.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$9 = y (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Etapa 4.3.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$9 = y (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Etapa 4.3.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$9 = y (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Etapa 4.3.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$9 = y (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Etapa 4.3.2.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$9 = y (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Etapa 4.3.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$9 = y (x^{2} - x + x - 1)$

Etapa 4.3.2.2

Some $- x$ e $x$ .

$9 = y (x^{2} + 0 - 1)$

Etapa 4.3.2.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$9 = y (x^{2} - 1)$

Etapa 4.3.3

Simplifique multiplicando.

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Etapa 4.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$9 = y x^{2} + y \cdot - 1$

Etapa 4.3.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$9 = y x^{2} - 1 \cdot y$

Etapa 4.3.4

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$9 = y x^{2} - y$

Etapa 5

Resolva a equação.

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $y x^{2} - y = 9$ .

$y x^{2} - y = 9$

Etapa 5.2

Some $y$ aos dois lados da equação.

$y x^{2} = 9 + y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y x^{2} = 9 + y$ por $y$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y x^{2} = 9 + y$ por $y$ .

$\frac{y x^{2}}{y} = \frac{9}{y} + \frac{y}{y}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y x^{2}}{y} = \frac{9}{y} + \frac{y}{y}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{9}{y} + \frac{y}{y}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} = \frac{9}{y} + \frac{y}{y}$

Etapa 5.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} = \frac{9}{y} + 1$

Etapa 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{y} + 1}$

Etapa 5.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{9}{y} + 1}$ .

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Etapa 5.5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{y} + \frac{y}{y}}$

Etapa 5.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \pm \sqrt{\frac{9 + y}{y}}$

Etapa 5.5.3

Reescreva $\sqrt{\frac{9 + y}{y}}$ como $\frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}}$

Etapa 5.5.4

Multiplique $\frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$

Etapa 5.5.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.5.5.1

Multiplique $\frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

Etapa 5.5.5.2

Eleve $\sqrt{y}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

Etapa 5.5.5.3

Eleve $\sqrt{y}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

Etapa 5.5.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.5.5.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

Etapa 5.5.5.6

Reescreva ${\sqrt{y}}^{2}$ como $y$ .

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Etapa 5.5.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.5.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.5.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.5.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.5.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.5.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y^{1}}$

Etapa 5.5.5.6.5

Simplifique.

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y}$

Etapa 5.5.6

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm \frac{\sqrt{(9 + y) y}}{y}$

Etapa 5.5.7

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{(9 + y) y}}{y}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

Etapa 5.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

Etapa 5.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

Etapa 5.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$