Matemática discreta Exemplos

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Etapa 2

Fatore cada termo.

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Etapa 2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Etapa 2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Etapa 2.3

Fatore $x^{2} - 7 x + 12$ usando o método AC.

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Etapa 2.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $12$ e cuja soma é $- 7$ .

$- 4, - 3$

Etapa 2.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$

Etapa 3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$(x - 4) (x - 3), 1$

Etapa 3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$(x - 4) (x - 3)$

Etapa 4

Multiplique cada termo em $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ por $(x - 4) (x - 3)$ para eliminar as frações.

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Etapa 4.1

Multiplique cada termo em $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ por $(x - 4) (x - 3)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $(x - 4) (x - 3)$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$(x + 1) (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Etapa 4.2.2

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Etapa 4.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Etapa 4.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Etapa 4.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Etapa 4.2.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Etapa 4.2.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Etapa 4.2.3.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Etapa 4.2.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x^{2} - x + x - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Etapa 4.2.3.2

Some $- x$ e $x$ .

$x^{2} + 0 - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Etapa 4.2.3.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Expanda $(x - 4) (x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 1 = y (x (x - 3) - 4 (x - 3))$

Etapa 4.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 (x - 3))$

Etapa 4.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Etapa 4.3.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Etapa 4.3.2.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Etapa 4.3.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 x - 4 x + 12)$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $4 x$ de $- 3 x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 7 x + 12)$

Etapa 4.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 1 = y x^{2} + y (- 7 x) + y \cdot 12$

Etapa 4.3.4

Simplifique.

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Etapa 4.3.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + y \cdot 12$

Etapa 4.3.4.2

Mova $12$ para a esquerda de $y$ .

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 \cdot y$

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 y$

Etapa 5

Resolva a equação.

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Etapa 5.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y = x^{2} - 1$

Etapa 5.2

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} = - 1$

Etapa 5.3

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} + 1 = 0$

Etapa 5.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.5

Substitua os valores $a = y - 1$ , $b = - 7 y$ e $c = 12 y + 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7 y)}^{2} - 4 \cdot ((y - 1) \cdot (12 y + 1))}}{2 (y - 1)}$

Etapa 5.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.6.1

Aplique a regra do produto a $- 7 y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Etapa 5.6.2

Eleve $- 7$ à potência de $2$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Etapa 5.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y - 4 \cdot - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Etapa 5.6.4

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y + 4) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Etapa 5.6.5

Expanda $(- 4 y + 4) (12 y + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.6.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y + 1) + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Etapa 5.6.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Etapa 5.6.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Etapa 5.6.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.6.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y \cdot y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Etapa 5.6.6.1.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 5.6.6.1.2.1

Mova $y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 (y \cdot y)) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Etapa 5.6.6.1.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y^{2}) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Etapa 5.6.6.1.3

Multiplique $- 4$ por $12$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Etapa 5.6.6.1.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Etapa 5.6.6.1.5

Multiplique $12$ por $4$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Etapa 5.6.6.1.6

Multiplique $4$ por $1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Etapa 5.6.6.2

Some $- 4 y$ e $48 y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Etapa 5.6.7

Subtraia $48 y^{2}$ de $49 y^{2}$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Etapa 5.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$