Matemática discreta Exemplos

$\ln (2 x + 1) = 2 - \ln (x)$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (2 x + 1) + \ln (x) = 2$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((2 x + 1) x) = 2$

Etapa 3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (2 x \cdot x + 1 x) = 2$

Etapa 4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + 1 x) = 2$

Etapa 4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (2 x^{2} + 1 x) = 2$

Etapa 5

Multiplique $x$ por $1$ .

$\ln (2 x^{2} + x) = 2$

Etapa 6

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (2 x^{2} + x)} = e^{2}$

Etapa 7

Reescreva $\ln (2 x^{2} + x) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2} = 2 x^{2} + x$

Etapa 8

Resolva $x$ .

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Etapa 8.1

Reescreva a equação como $2 x^{2} + x = e^{2}$ .

$2 x^{2} + x = e^{2}$

Etapa 8.2

Subtraia $e^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} + x - e^{2} = 0$

Etapa 8.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 8.4

Substitua os valores $a = 2$ , $b = 1$ e $c = - e^{2}$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- e^{2}))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.5

Simplifique.

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Etapa 8.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Etapa 8.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.5.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

Etapa 8.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

Etapa 9

Exclua as soluções que não tornam $\ln (2 x + 1) = 2 - \ln (x)$ verdadeira.

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

Forma decimal:

$x = 1.68830545 \dots$