Matemática discreta Exemplos

$a (n) = \frac{1}{3} \cdot (1 - {(- \frac{1}{2})}^{n - 1})$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 1.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 - ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n - 1}))$

Etapa 1.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 - ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}))$

Etapa 1.1.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{n - 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.2.1

Mova ${(- 1)}^{n - 1}$ .

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1} \cdot - 1 \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Etapa 1.1.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{n - 1}$ por $- 1$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Etapa 1.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1 + 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Etapa 1.1.2.3

Combine os termos opostos em $n - 1 + 1$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Some $- 1$ e $1$ .

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n + 0} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Etapa 1.1.2.3.2

Some $n$ e $0$ .

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Etapa 1.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n} \frac{1}{2^{n - 1}})$

Etapa 1.1.4

Combine ${(- 1)}^{n}$ e $\frac{1}{2^{n - 1}}$ .

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n - 1}})$

Etapa 1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$a n = \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n - 1}}$

Etapa 1.3

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$a n = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n - 1}}$

Etapa 1.4

Combine.

$a n = \frac{1}{3} + \frac{1 {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

Etapa 1.5

Multiplique ${(- 1)}^{n}$ por $1$ .

$a n = \frac{1}{3} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

Etapa 2

Divida cada termo em $a n = \frac{1}{3} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$ por $n$ e simplifique.

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Etapa 2.1

Divida cada termo em $a n = \frac{1}{3} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$ por $n$ .

$\frac{a n}{n} = \frac{\frac{1}{3}}{n} + \frac{\frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $n$ .

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{a n}{n} = \frac{\frac{1}{3}}{n} + \frac{\frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Etapa 2.2.1.2

Divida $a$ por $1$ .

$a = \frac{\frac{1}{3}}{n} + \frac{\frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$a = \frac{\frac{1}{3} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.1

Para escrever $\frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2^{n - 1}}{2^{n - 1}}$ .

$a = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2^{n - 1}}{2^{n - 1}} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2^{n - 1}}{2^{n - 1}}$ .

$a = \frac{\frac{2^{n - 1}}{3 \cdot 2^{n - 1}} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Etapa 2.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$a = \frac{\frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Etapa 2.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$a = \frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}} \cdot \frac{1}{n}$

Etapa 2.3.4

Multiplique $\frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$ por $\frac{1}{n}$ .

$a = \frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1} n}$

Etapa 2.3.5

Reordene os fatores em $\frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1} n}$ .

$a = \frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 n \cdot 2^{n - 1}}$