Matemática discreta Exemplos

a (n) = \frac{1}{3} \cdot (1 - {(- \frac{1}{2})}^{n - 1})

$a (n) = \frac{1}{3} \cdot (1 - {(- \frac{1}{2})}^{n - 1})$

Etapa 1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências

{(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Aplique a regra do produto a

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ .

a n = \frac{1}{3} \cdot (1 - ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n - 1}))

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 - ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n - 1}))$

Etapa 1.1.1.2

Aplique a regra do produto a

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

a n = \frac{1}{3} \cdot (1 - ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}))

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 - ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}))$

a n = \frac{1}{3} \cdot (1 - ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}))

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 - ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}))$

Etapa 1.1.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

{(- 1)}^{n - 1}

${(- 1)}^{n - 1}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Mova

{(- 1)}^{n - 1}

${(- 1)}^{n - 1}$ .

a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1} \cdot - 1 \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1} \cdot - 1 \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Etapa 1.1.2.2

Multiplique

{(- 1)}^{n - 1}

${(- 1)}^{n - 1}$ por

- 1

$- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Eleve

- 1

$- 1$ à potência de

1

$1$ .

a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Etapa 1.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1 + 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1 + 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1 + 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1 + 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Etapa 1.1.2.3

Combine os termos opostos em

n - 1 + 1

$n - 1 + 1$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Some

- 1

$- 1$ e

1

$1$ .

a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n + 0} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n + 0} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Etapa 1.1.2.3.2

Some

n

$n$ e

0

$0$ .

a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Etapa 1.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n} \frac{1}{2^{n - 1}})

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n} \frac{1}{2^{n - 1}})$

Etapa 1.1.4

Combine

{(- 1)}^{n}

${(- 1)}^{n}$ e

\frac{1}{2^{n - 1}}

$\frac{1}{2^{n - 1}}$ .

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n - 1}})$

Etapa 1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$a n = \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n - 1}}$

Etapa 1.3

Multiplique

$\frac{1}{3}$ por

$1$ .

$a n = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n - 1}}$

Etapa 1.4

Combine.

$a n = \frac{1}{3} + \frac{1 {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

Etapa 1.5

Multiplique

${(- 1)}^{n}$ por

$1$ .

$a n = \frac{1}{3} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

Etapa 2

Divida cada termo em

$a n = \frac{1}{3} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$ por

$n$ e simplifique.

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Etapa 2.1

Divida cada termo em

$a n = \frac{1}{3} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$ por

$n$ .

$\frac{a n}{n} = \frac{\frac{1}{3}}{n} + \frac{\frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de

$n$ .

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{a n}{n} = \frac{\frac{1}{3}}{n} + \frac{\frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Etapa 2.2.1.2

Divida

$a$ por

$1$ .

$a = \frac{\frac{1}{3}}{n} + \frac{\frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$a = \frac{\frac{1}{3} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.1

Para escrever

$\frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{2^{n - 1}}{2^{n - 1}}$ .

$a = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2^{n - 1}}{2^{n - 1}} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique

$\frac{1}{3}$ por

$\frac{2^{n - 1}}{2^{n - 1}}$ .

$a = \frac{\frac{2^{n - 1}}{3 \cdot 2^{n - 1}} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Etapa 2.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$a = \frac{\frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Etapa 2.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$a = \frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}} \cdot \frac{1}{n}$

Etapa 2.3.4

Multiplique

$\frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$ por

$\frac{1}{n}$ .

$a = \frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1} n}$

Etapa 2.3.5

Reordene os fatores em

$\frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1} n}$ .

$a = \frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 n \cdot 2^{n - 1}}$