Matemática discreta Exemplos

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \cdot (\log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \log_{b} (25)) - \log_{b} (20)$

Etapa 1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1

Multiplique $\frac{2}{3} (\log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \log_{b} (25))$ .

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Etapa 1.1.1.1

Combine $\log_{b} (64 + \frac{1}{2})$ e $\frac{2}{3}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \cdot 2}{3} \log_{b} (25) - \log_{b} (20)$

Etapa 1.1.1.2

Combine $\frac{\log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \cdot 2}{3}$ e $\log_{b} (25)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \cdot 2 \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Etapa 1.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $\log_{b} (64 + \frac{1}{2})$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

Simplifique $\frac{2 \log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$ .

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Etapa 2.1.1

Para escrever $64$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (64 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Etapa 2.1.2

Combine $64$ e $\frac{2}{2}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (\frac{64 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Etapa 2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (\frac{64 \cdot 2 + 1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Etapa 2.1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.4.1

Multiplique $64$ por $2$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (\frac{128 + 1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Etapa 2.1.4.2

Some $128$ e $1$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (\frac{129}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Etapa 2.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.5.1

Simplifique $2 \log_{b} (\frac{129}{2})$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} ({(\frac{129}{2})}^{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Etapa 2.1.5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.5.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{129}{2}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (\frac{129^{2}}{2^{2}}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Etapa 2.1.5.2.2

Eleve $129$ à potência de $2$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (\frac{16641}{2^{2}}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Etapa 2.1.5.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Etapa 3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\log_{b} (x) - \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3} + \log_{b} (20) = 0$

Etapa 4

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{b} (x \cdot 20) - \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3} = 0$

Etapa 5

Mova $20$ para a esquerda de $x$ .

$\log_{b} (20 x) - \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3} = 0$

Etapa 6

Some $\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}$ aos dois lados da equação.

$\log_{b} (20 x) = \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}$

Etapa 7

Reescreva $\log_{b} (20 x) = \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}} = 20 x$

Etapa 8

Resolva $x$ .

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Etapa 8.1

Reescreva a equação como $20 x = b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}$ .

$20 x = b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}$

Etapa 8.2

Divida cada termo em $20 x = b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}$ por $20$ e simplifique.

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Etapa 8.2.1

Divida cada termo em $20 x = b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}$ por $20$ .

$\frac{20 x}{20} = \frac{b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}}{20}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.2.1

Cancele o fator comum de $20$ .

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Etapa 8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{20 x}{20} = \frac{b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}}{20}$

Etapa 8.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}}{20}$