Matemática discreta Exemplos

$z = \sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{y^{2} - 1}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{y^{2} - 1} = z$ .

$\sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{y^{2} - 1} = z$

Etapa 2

Resolva $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{y^{2} - 1^{2}} = z$

Etapa 2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 1$ .

$\sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{(y + 1) (y - 1)} = z$

Etapa 2.2

Subtraia $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{1 - x^{2}} = z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

Etapa 3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

Etapa 4

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

Etapa 4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

Etapa 4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(1 - x^{2})}^{1} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

Etapa 4.2.1.2

Simplifique.

$1 - x^{2} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Simplifique ${(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$ .

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Etapa 4.3.1.1

Reescreva ${(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$ como $(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$ .

$1 - x^{2} = (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

Etapa 4.3.1.2

Expanda $(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 - x^{2} = z (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

Etapa 4.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 - x^{2} = z \cdot z + z (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

Etapa 4.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 - x^{2} = z \cdot z + z (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

Etapa 4.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.3.1.1

Multiplique $z$ por $z$ .

$1 - x^{2} = z^{2} + z (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

Etapa 4.3.1.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

Etapa 4.3.1.3.1.3

Multiplique $- \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$ .

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Etapa 4.3.1.3.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + 1 \sqrt{(y + 1) (y - 1)} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

Etapa 4.3.1.3.1.3.2

Multiplique $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ por $1$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + \sqrt{(y + 1) (y - 1)} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

Etapa 4.3.1.3.1.3.3

Eleve $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ à potência de $1$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{1} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

Etapa 4.3.1.3.1.3.4

Eleve $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ à potência de $1$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{1} {\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{1}$

Etapa 4.3.1.3.1.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{1 + 1}$

Etapa 4.3.1.3.1.3.6

Some $1$ e $1$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{2}$

Etapa 4.3.1.3.1.4

Reescreva ${\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{2}$ como $(y + 1) (y - 1)$ .

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Etapa 4.3.1.3.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ como ${((y + 1) (y - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {({((y + 1) (y - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 4.3.1.3.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {((y + 1) (y - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 4.3.1.3.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {((y + 1) (y - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 4.3.1.3.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.1.3.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {((y + 1) (y - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 4.3.1.3.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {((y + 1) (y - 1))}^{1}$

Etapa 4.3.1.3.1.4.5

Simplifique.

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + (y + 1) (y - 1)$

Etapa 4.3.1.3.1.5

Expanda $(y + 1) (y - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.3.1.3.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y (y - 1) + 1 (y - 1)$

Etapa 4.3.1.3.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1)$

Etapa 4.3.1.3.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1$

Etapa 4.3.1.3.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.3.1.3.1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.3.1.6.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1$

Etapa 4.3.1.3.1.6.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1$

Etapa 4.3.1.3.1.6.1.3

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1$

Etapa 4.3.1.3.1.6.1.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1$

Etapa 4.3.1.3.1.6.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} - y + y - 1$

Etapa 4.3.1.3.1.6.2

Some $- y$ e $y$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} + 0 - 1$

Etapa 4.3.1.3.1.6.3

Some $y^{2}$ e $0$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} - 1$

Etapa 4.3.1.3.2

Reordene os fatores de $- \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 1$

Etapa 4.3.1.3.3

Subtraia $z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ de $- z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 1$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = z^{2} - 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 1 - 1$

Etapa 5.1.2

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$- x^{2} = z^{2} - 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 2$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $- x^{2} = z^{2} - 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 2$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = z^{2} - 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{z^{2}}{- 1} + \frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{z^{2}}{- 1} + \frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 5.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{z^{2}}{- 1} + \frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{z^{2}}{- 1}$ .

$x^{2} = - 1 \cdot z^{2} + \frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 5.2.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot z^{2}$ como $- z^{2}$ .

$x^{2} = - z^{2} + \frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 5.2.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1}$ .

$x^{2} = - z^{2} - 1 \cdot (- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 5.2.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot (- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$ como $- (- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$ .

$x^{2} = - z^{2} - (- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 5.2.3.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} = - z^{2} + 2 (z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 5.2.3.1.6

Mova o número negativo do denominador de $\frac{y^{2}}{- 1}$ .

$x^{2} = - z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - 1 \cdot y^{2} + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 5.2.3.1.7

Reescreva $- 1 \cdot y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$x^{2} = - z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 5.2.3.1.8

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} = - z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2$

Etapa 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

Etapa 5.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

Etapa 5.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

Etapa 5.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

$x = - \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

$x = \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

$x = - \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

$x = \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

$x = - \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$