Matemática discreta Exemplos

$10 ({1.05}^{x}) = 11 ({1.04}^{x})$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (10 \cdot {1.05}^{x}) = \ln (11 \cdot {1.04}^{x})$

Etapa 2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Reescreva $\ln (10 \cdot {1.05}^{x})$ como $\ln (10) + \ln ({1.05}^{x})$ .

$\ln (10) + \ln ({1.05}^{x}) = \ln (11 \cdot {1.04}^{x})$

Etapa 2.2

Expanda $\ln ({1.05}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$\ln (10) + x \ln (1.05) = \ln (11 \cdot {1.04}^{x})$

Etapa 3

Expanda o lado direito.

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Etapa 3.1

Reescreva $\ln (11 \cdot {1.04}^{x})$ como $\ln (11) + \ln ({1.04}^{x})$ .

$\ln (10) + x \ln (1.05) = \ln (11) + \ln ({1.04}^{x})$

Etapa 3.2

Expanda $\ln ({1.04}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$\ln (10) + x \ln (1.05) = \ln (11) + x \ln (1.04)$

Etapa 4

Reordene $\ln (10)$ e $x \ln (1.05)$ .

$x \ln (1.05) + \ln (10) = \ln (11) + x \ln (1.04)$

Etapa 5

Reordene $\ln (11)$ e $x \ln (1.04)$ .

$x \ln (1.05) + \ln (10) = x \ln (1.04) + \ln (11)$

Etapa 6

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$x \ln (1.05) + \ln (10) - x \ln (1.04) - \ln (11) = 0$

Etapa 7

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1.05) - x \ln (1.04) + \ln (\frac{10}{11}) = 0$

Etapa 8

Subtraia $\ln (\frac{10}{11})$ dos dois lados da equação.

$x \ln (1.05) - x \ln (1.04) = - \ln (\frac{10}{11})$

Etapa 9

Fatore $x$ de $x \ln (1.05) - x \ln (1.04)$ .

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Etapa 9.1

Fatore $x$ de $x \ln (1.05)$ .

$x (\ln (1.05)) - x \ln (1.04) = - \ln (\frac{10}{11})$

Etapa 9.2

Fatore $x$ de $- x \ln (1.04)$ .

$x (\ln (1.05)) + x (- 1 \ln (1.04)) = - \ln (\frac{10}{11})$

Etapa 9.3

Fatore $x$ de $x (\ln (1.05)) + x (- 1 \ln (1.04))$ .

$x (\ln (1.05) - 1 \ln (1.04)) = - \ln (\frac{10}{11})$

Etapa 10

Reescreva $- 1 \ln (1.04)$ como $- \ln (1.04)$ .

$x (\ln (1.05) - \ln (1.04)) = - \ln (\frac{10}{11})$

Etapa 11

Divida cada termo em $x (\ln (1.05) - \ln (1.04)) = - \ln (\frac{10}{11})$ por $\ln (1.05) - \ln (1.04)$ e simplifique.

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Etapa 11.1

Divida cada termo em $x (\ln (1.05) - \ln (1.04)) = - \ln (\frac{10}{11})$ por $\ln (1.05) - \ln (1.04)$ .

$\frac{x (\ln (1.05) - \ln (1.04))}{\ln (1.05) - \ln (1.04)} = \frac{- \ln (\frac{10}{11})}{\ln (1.05) - \ln (1.04)}$

Etapa 11.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 11.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (1.05) - \ln (1.04)$ .

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Etapa 11.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (\ln (1.05) - \ln (1.04))}{\ln (1.05) - \ln (1.04)} = \frac{- \ln (\frac{10}{11})}{\ln (1.05) - \ln (1.04)}$

Etapa 11.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{10}{11})}{\ln (1.05) - \ln (1.04)}$

Etapa 11.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{\ln (\frac{10}{11})}{\ln (1.05) - \ln (1.04)}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{\ln (\frac{10}{11})}{\ln (1.05) - \ln (1.04)}$

Forma decimal:

$x = 9.95983778 \dots$