Matemática discreta Exemplos

$2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y + 128 = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $128$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y = - 128$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $2 x^{2} - 24 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 2$

$b = - 24$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 24$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (2)}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 12}{2}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 12$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Fatore $2$ de $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 6}{1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.4

Divida $- 6$ por $1$ .

$d = - 6$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $- 24$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{8}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $576$ por $8$ .

$e = 0 - 1 \cdot 72$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $72$ .

$e = 0 - 72$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $72$ de $0$ .

$e = - 72$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $2 {(x - 6)}^{2} - 72$ .

$2 {(x - 6)}^{2} - 72$

Etapa 1.3

Substitua $2 {(x - 6)}^{2} - 72$ por $2 x^{2} - 24 x$ na equação $2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y = - 128$ .

$2 {(x - 6)}^{2} - 72 + 4 y^{2} + 32 y = - 128$

Etapa 1.4

Mova $- 72$ para o lado direito da equação, somando $72$ aos dois lados.

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 y^{2} + 32 y = - 128 + 72$

Etapa 1.5

Complete o quadrado de $4 y^{2} + 32 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = 32$

$c = 0$

Etapa 1.5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{32}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $32$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $32$ .

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 (4)}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{16}{4}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $16$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$d = \frac{4 \cdot 4}{4}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{4}{1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$d = 4$

Etapa 1.5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{32^{2}}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Eleve $32$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{1024}{16}$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Divida $1024$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Etapa 1.5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $64$ .

$e = 0 - 64$

Etapa 1.5.4.2.2

Subtraia $64$ de $0$ .

$e = - 64$

Etapa 1.5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $4 {(y + 4)}^{2} - 64$ .

$4 {(y + 4)}^{2} - 64$

Etapa 1.6

Substitua $4 {(y + 4)}^{2} - 64$ por $4 y^{2} + 32 y$ na equação $2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y = - 128$ .

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} - 64 = - 128 + 72$

Etapa 1.7

Mova $- 64$ para o lado direito da equação, somando $64$ aos dois lados.

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = - 128 + 72 + 64$

Etapa 1.8

Simplifique $- 128 + 72 + 64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Some $- 128$ e $72$ .

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = - 56 + 64$

Etapa 1.8.2

Some $- 56$ e $64$ .

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = 8$

Etapa 1.9

Divida cada termo por $8$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{2 {(x - 6)}^{2}}{8} + \frac{4 {(y + 4)}^{2}}{8} = \frac{8}{8}$

Etapa 1.10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{2} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 2$

$b = \sqrt{2}$

$k = - 4$

$h = 6$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(6, - 4)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{4 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{4 - 2^{1}}$

Etapa 5.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{4 - 1 \cdot 2}$

Etapa 5.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\sqrt{4 - 2}$

Etapa 5.3.3.2

Subtraia $2$ de $4$ .

$\sqrt{2}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(6 + 2, - 4)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(8, - 4)$

Etapa 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(6 - (2), - 4)$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(4, - 4)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(8, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(8, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 4)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(6 + \sqrt{2}, - 4)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(6 - (\sqrt{2}), - 4)$

Etapa 7.5

Simplifique.

$(6 - \sqrt{2}, - 4)$

Etapa 7.6

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(6 + \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(6 - \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(6 + \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(6 - \sqrt{2}, - 4)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - {\sqrt{2}}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Etapa 8.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Etapa 8.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Etapa 8.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{4 - 2^{1}}}{2}$

Etapa 8.3.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 2}}{2}$

Etapa 8.3.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - 2}}{2}$

Etapa 8.3.4

Subtraia $2$ de $4$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(6, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(8, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(6 + \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(6 - \sqrt{2}, - 4)$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 10