Matemática discreta Exemplos

$f (x) = x^{4} - 33 x^{2} - 28 x + 60$

Etapa 1

Defina $x^{4} - 33 x^{2} - 28 x + 60$ como igual a $0$ .

$x^{4} - 33 x^{2} - 28 x + 60 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Fatore $x^{4} - 33 x^{2} - 28 x + 60$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1$

Etapa 2.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

Etapa 2.1.1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{4} - 33 \cdot 1^{2} - 28 \cdot 1 + 60$

Etapa 2.1.1.3.2

Eleve $1$ à potência de $4$ .

$1 - 33 \cdot 1^{2} - 28 \cdot 1 + 60$

Etapa 2.1.1.3.3

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$1 - 33 \cdot 1 - 28 \cdot 1 + 60$

Etapa 2.1.1.3.4

Multiplique $- 33$ por $1$ .

$1 - 33 - 28 \cdot 1 + 60$

Etapa 2.1.1.3.5

Subtraia $33$ de $1$ .

$- 32 - 28 \cdot 1 + 60$

Etapa 2.1.1.3.6

Multiplique $- 28$ por $1$ .

$- 32 - 28 + 60$

Etapa 2.1.1.3.7

Subtraia $28$ de $- 32$ .

$- 60 + 60$

Etapa 2.1.1.3.8

Some $- 60$ e $60$ .

$0$

Etapa 2.1.1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} - 33 x^{2} - 28 x + 60}{x - 1}$

Etapa 2.1.1.5

Divida $x^{4} - 33 x^{2} - 28 x + 60$ por $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

Etapa 2.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

Etapa 2.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

Etapa 2.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{4} - x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

Etapa 2.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

Etapa 2.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x^{2}$

$28 x$

Etapa 2.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 32 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x^{2}$

$28 x$

Etapa 2.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x^{2}$

$28 x$

$32 x^{2}$

$32 x$

Etapa 2.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 32 x^{2} + 32 x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x^{2}$

$28 x$

$32 x^{2}$

$32 x$

Etapa 2.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x^{2}$

$28 x$

$32 x^{2}$

$32 x$

$60 x$

Etapa 2.1.1.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x^{2}$

$28 x$

$32 x^{2}$

$32 x$

$60 x$

$60$

Etapa 2.1.1.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 60 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x$

$60$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x^{2}$

$28 x$

$32 x^{2}$

$32 x$

$60 x$

$60$

Etapa 2.1.1.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x$

$60$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x^{2}$

$28 x$

$32 x^{2}$

$32 x$

$60 x$

$60$

$60 x$

$60$

Etapa 2.1.1.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 60 x + 60$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x$

$60$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x^{2}$

$28 x$

$32 x^{2}$

$32 x$

$60 x$

$60$

$60 x$

$60$

Etapa 2.1.1.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x$

$60$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x^{2}$

$28 x$

$32 x^{2}$

$32 x$

$60 x$

$60$

$60 x$

$60$

$0$

Etapa 2.1.1.5.21

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{3} + x^{2} - 32 x - 60$

Etapa 2.1.1.6

Escreva $x^{4} - 33 x^{2} - 28 x + 60$ como um conjunto de fatores.

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} - 32 x - 60) = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $x^{3} + x^{2} - 32 x - 60$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1$

Etapa 2.1.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

Etapa 2.1.2.3

Substitua $- 2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 2$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Substitua $- 2$ no polinômio.

${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 32 \cdot - 2 - 60$

Etapa 2.1.2.3.2

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$- 8 + {(- 2)}^{2} - 32 \cdot - 2 - 60$

Etapa 2.1.2.3.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- 8 + 4 - 32 \cdot - 2 - 60$

Etapa 2.1.2.3.4

Some $- 8$ e $4$ .

$- 4 - 32 \cdot - 2 - 60$

Etapa 2.1.2.3.5

Multiplique $- 32$ por $- 2$ .

$- 4 + 64 - 60$

Etapa 2.1.2.3.6

Some $- 4$ e $64$ .

$60 - 60$

Etapa 2.1.2.3.7

Subtraia $60$ de $60$ .

$0$

Etapa 2.1.2.4

Como $- 2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 32 x - 60}{x + 2}$

Etapa 2.1.2.5

Divida $x^{3} + x^{2} - 32 x - 60$ por $x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x$

$60$

Etapa 2.1.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$

Etapa 2.1.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 2.1.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 2.1.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Etapa 2.1.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$32 x$

Etapa 2.1.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$32 x$

Etapa 2.1.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$32 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 2.1.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{2} - 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$32 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 2.1.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$32 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$

Etapa 2.1.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$32 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$60$

Etapa 2.1.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 30 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$30$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$32 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$60$

Etapa 2.1.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$30$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$32 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$60$
							-	$30 x$	-	$60$

Etapa 2.1.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 30 x - 60$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$30$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$32 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$60$
							+	$30 x$	+	$60$

Etapa 2.1.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$30$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$32 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$60$
							+	$30 x$	+	$60$
										$0$

Etapa 2.1.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - x - 30$

Etapa 2.1.2.6

Escreva $x^{3} + x^{2} - 32 x - 60$ como um conjunto de fatores.

$(x - 1) ((x + 2) (x^{2} - x - 30)) = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $x^{2} - x - 30$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Fatore $x^{2} - x - 30$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.1

Fatore $x^{2} - x - 30$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 30$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 6, 5$

Etapa 2.1.3.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 1) ((x + 2) ((x - 6) (x + 5))) = 0$

Etapa 2.1.3.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) ((x + 2) (x - 6) (x + 5)) = 0$

Etapa 2.1.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) (x + 2) (x - 6) (x + 5) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.4

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.5

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 2.6

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 2.6.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (x + 2) (x - 6) (x + 5) = 0$ verdadeiro. A multiplicidade de uma raiz é o número de vezes que ela aparece.

$x = 1$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = - 2$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = 6$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = - 5$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = 1$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = - 2$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = 6$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = - 5$ (Multiplicidade de $1$ )

Etapa 3