Matemática discreta Exemplos

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 45$

Etapa 1

Defina $x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 45$ como igual a $0$ .

$x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 45 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$- 8 x^{3} + 24 x + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $- 8 x$ de $- 8 x^{3} + 24 x$ .

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Etapa 2.1.2.1

Fatore $- 8 x$ de $- 8 x^{3}$ .

$- 8 x \cdot x^{2} + 24 x + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $- 8 x$ de $24 x$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot - 3 + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $- 8 x$ de $- 8 x (x^{2}) - 8 x (- 3)$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + {(x^{2})}^{2} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Etapa 2.1.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + u^{2} + 12 u - 45 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $u^{2} + 12 u - 45$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 45$ e cuja soma é $12$ .

$- 3, 15$

Etapa 2.1.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 8 x (x^{2} - 3) + (u - 3) (u + 15) = 0$

Etapa 2.1.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15) = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore $x^{2} - 3$ de $- 8 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15)$ .

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Etapa 2.1.7.1

Fatore $x^{2} - 3$ de $- 8 x (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15) = 0$

Etapa 2.1.7.2

Fatore $x^{2} - 3$ de $(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15)$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x + x^{2} + 15) = 0$

Etapa 2.1.8

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 u + u^{2} + 15) = 0$

Etapa 2.1.9

Fatore $- 8 u + u^{2} + 15$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.9.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $15$ e cuja soma é $- 8$ .

$- 5, - 3$

Etapa 2.1.9.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x^{2} - 3) ((u - 5) (u - 3)) = 0$

Etapa 2.1.10

Fatore.

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Etapa 2.1.10.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x^{2} - 3) ((x - 5) (x - 3)) = 0$

Etapa 2.1.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} - 3) (x - 5) (x - 3) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $x^{2} - 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 3$

Etapa 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Etapa 2.3.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.3.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{3}$

Etapa 2.3.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{3}$

Etapa 2.3.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 2.4

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 2.5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} - 3) (x - 5) (x - 3) = 0$ verdadeiro. A multiplicidade de uma raiz é o número de vezes que ela aparece.

$x = \sqrt{3}$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = 5$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = 3$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = \sqrt{3}$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = 5$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = 3$ (Multiplicidade de $1$ )

Etapa 3