Matemática discreta Exemplos

$\frac{5 - 3 x}{x^{2} + 4 x + 3} - \frac{2 x + 2}{x + 3} = \frac{3 - x}{x + 1}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{3 - x}{x + 1}$ dos dois lados da equação.

$\frac{5 - 3 x}{x^{2} + 4 x + 3} - \frac{2 x + 2}{x + 3} - \frac{3 - x}{x + 1} = 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{5 - 3 x}{x^{2} + 4 x + 3} - \frac{2 x + 2}{x + 3} - \frac{3 - x}{x + 1}$ .

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Fatore $x^{2} + 4 x + 3$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $3$ e cuja soma é $4$ .

$1, 3$

Etapa 2.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{2 x + 2}{x + 3} - \frac{3 - x}{x + 1} = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $2$ de $2 x + 2$ .

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Etapa 2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{2 (x) + 2}{x + 3} - \frac{3 - x}{x + 1} = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{2 (x) + 2 (1)}{x + 3} - \frac{3 - x}{x + 1} = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{2 (x + 1)}{x + 3} - \frac{3 - x}{x + 1} = 0$

Etapa 2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 2.2.1

Multiplique $\frac{2 (x + 1)}{x + 3}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - (\frac{2 (x + 1)}{x + 3} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}) - \frac{3 - x}{x + 1} = 0$

Etapa 2.2.2

Multiplique $\frac{2 (x + 1)}{x + 3}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{2 (x + 1) (x + 1)}{(x + 3) (x + 1)} - \frac{3 - x}{x + 1} = 0$

Etapa 2.2.3

Multiplique $\frac{3 - x}{x + 1}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{2 (x + 1) (x + 1)}{(x + 3) (x + 1)} - (\frac{3 - x}{x + 1} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}) = 0$

Etapa 2.2.4

Multiplique $\frac{3 - x}{x + 1}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{2 (x + 1) (x + 1)}{(x + 3) (x + 1)} - \frac{(3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.2.5

Reordene os fatores de $(x + 3) (x + 1)$ .

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{2 (x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{(3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 - 3 x - 2 (x + 1) (x + 1) - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 - 3 x + (- 2 x - 2 \cdot 1) (x + 1) - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{5 - 3 x + (- 2 x - 2) (x + 1) - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.4.3

Expanda $(- 2 x - 2) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.4.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 - 3 x - 2 x (x + 1) - 2 (x + 1) - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.4.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 - 3 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 - 2 (x + 1) - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.4.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 - 3 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 - 2 x - 2 \cdot 1 - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.4.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.4.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.4.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 - 2 x - 2 \cdot 1 - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.4.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 - 2 x - 2 \cdot 1 - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.4.4.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 x - 2 \cdot 1 - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.4.4.1.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 x - 2 - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.4.4.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.4.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 + (- 1 \cdot 3 - - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.4.6

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 + (- 3 - - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.4.7

Multiplique $- - x$ .

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Etapa 2.4.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 + (- 3 + 1 x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.4.7.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 + (- 3 + x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.4.8

Expanda $(- 3 + x) (x + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.4.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 - 3 (x + 3) + x (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.4.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 - 3 x - 3 \cdot 3 + x (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.4.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 - 3 x - 3 \cdot 3 + x \cdot x + x \cdot 3}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.4.9

Combine os termos opostos em $- 3 x - 3 \cdot 3 + x \cdot x + x \cdot 3$ .

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Etapa 2.4.9.1

Reorganize os fatores nos termos $- 3 x$ e $x \cdot 3$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 - 3 x - 3 \cdot 3 + x \cdot x + 3 x}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.4.9.2

Some $- 3 x$ e $3 x$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 + 0 - 3 \cdot 3 + x \cdot x}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.4.9.3

Subtraia $3 \cdot 3$ de $0$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 - 3 \cdot 3 + x \cdot x}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.4.10

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.10.1

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 - 9 + x \cdot x}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.4.10.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 - 9 + x^{2}}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.5

Subtraia $2$ de $5$ .

$\frac{- 3 x - 2 x^{2} - 4 x + 3 - 9 + x^{2}}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.6

Subtraia $4 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 7 x + 3 - 9 + x^{2}}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.7

Some $- 2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 7 x + 3 - 9}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.8

Subtraia $9$ de $3$ .

$\frac{- x^{2} - 7 x - 6}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.9

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.9.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 6 = 6$ e cuja soma é $b = - 7$ .

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Etapa 2.9.1.1

Fatore $- 7$ de $- 7 x$ .

$\frac{- x^{2} - 7 (x) - 6}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.9.1.2

Reescreva $- 7$ como $- 1$ mais $- 6$

$\frac{- x^{2} + (- 1 - 6) x - 6}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.9.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} - 1 x - 6 x - 6}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.9.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.9.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) - 6 x - 6}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.9.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (- x - 1) + 6 (- x - 1)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.9.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x + 6)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.10

Cancele o fator comum de $- x - 1$ e $x + 1$ .

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Etapa 2.10.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 1) (x + 6)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.10.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x + 6)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.10.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1) (x + 6)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.10.4

Reescreva $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1) (x + 6)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.10.5

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 (x + 1) (x + 6)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Etapa 2.10.6

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1 (x + 6)}{x + 3} = 0$

Etapa 2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x + 6}{x + 3} = 0$