Matemática discreta Exemplos

$\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 9} = 11$

Etapa 1

Subtraia $11$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 9} - 11 = 0$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x - 3, x - 9, 1, 1$

Etapa 2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.4

O MMC de $1, 1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.5

O fator de $x - 3$ é o próprio $x - 3$ .

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.6

O fator de $x - 9$ é o próprio $x - 9$ .

$(x - 9) = x - 9$

$(x - 9)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.7

O MMC de $x - 3, x - 9$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(x - 3) (x - 9)$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 9} - 11 = 0$ por $(x - 3) (x - 9)$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 9} - 11 = 0$ por $(x - 3) (x - 9)$ .

$\frac{1}{x - 3} ((x - 3) (x - 9)) - \frac{1}{x - 9} ((x - 3) (x - 9)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x - 3} ((x - 3) (x - 9)) - \frac{1}{x - 9} ((x - 3) (x - 9)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Etapa 3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x - 9 - \frac{1}{x - 9} ((x - 3) (x - 9)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Etapa 3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x - 9$ .

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Etapa 3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x - 9}$ para o numerador.

$x - 9 + \frac{- 1}{x - 9} ((x - 3) (x - 9)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Etapa 3.2.1.2.2

Fatore $x - 9$ de $(x - 3) (x - 9)$ .

$x - 9 + \frac{- 1}{x - 9} ((x - 9) (x - 3)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Etapa 3.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$x - 9 + \frac{- 1}{x - 9} ((x - 9) (x - 3)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Etapa 3.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$x - 9 - (x - 3) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Etapa 3.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 9 - x - - 3 - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Etapa 3.2.1.5

Expanda $(x - 3) (x - 9)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 9 - x + 3 - 11 (x (x - 9) - 3 (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Etapa 3.2.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 9 - x + 3 - 11 (x \cdot x + x \cdot - 9 - 3 (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Etapa 3.2.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 9 - x + 3 - 11 (x \cdot x + x \cdot - 9 - 3 x - 3 \cdot - 9) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Etapa 3.2.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.6.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 (x^{2} + x \cdot - 9 - 3 x - 3 \cdot - 9) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Etapa 3.2.1.6.1.2

Mova $- 9$ para a esquerda de $x$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 (x^{2} - 9 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 9) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Etapa 3.2.1.6.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 9$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 (x^{2} - 9 x - 3 x + 27) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Etapa 3.2.1.6.2

Subtraia $3 x$ de $- 9 x$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 (x^{2} - 12 x + 27) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Etapa 3.2.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 9 - x + 3 - 11 x^{2} - 11 (- 12 x) - 11 \cdot 27 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Etapa 3.2.1.8

Simplifique.

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Etapa 3.2.1.8.1

Multiplique $- 12$ por $- 11$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 x^{2} + 132 x - 11 \cdot 27 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Etapa 3.2.1.8.2

Multiplique $- 11$ por $27$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 x^{2} + 132 x - 297 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Etapa 3.2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.2.2.1

Combine os termos opostos em $x - 9 - x + 3 - 11 x^{2} + 132 x - 297$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$0 - 9 + 3 - 11 x^{2} + 132 x - 297 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Etapa 3.2.2.1.2

Subtraia $9$ de $0$ .

$- 9 + 3 - 11 x^{2} + 132 x - 297 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 3.2.2.2.1

Some $- 9$ e $3$ .

$- 6 - 11 x^{2} + 132 x - 297 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Etapa 3.2.2.2.2

Subtraia $297$ de $- 6$ .

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Expanda $(x - 3) (x - 9)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x (x - 9) - 3 (x - 9))$

Etapa 3.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x \cdot x + x \cdot - 9 - 3 (x - 9))$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x \cdot x + x \cdot - 9 - 3 x - 3 \cdot - 9)$

Etapa 3.3.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x^{2} + x \cdot - 9 - 3 x - 3 \cdot - 9)$

Etapa 3.3.2.1.2

Mova $- 9$ para a esquerda de $x$ .

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x^{2} - 9 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 9)$

Etapa 3.3.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 9$ .

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x^{2} - 9 x - 3 x + 27)$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $3 x$ de $- 9 x$ .

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x^{2} - 12 x + 27)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $0$ por $x^{2} - 12 x + 27$ .

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.2

Substitua os valores $a = - 11$ , $b = 132$ e $c = - 303$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 132 \pm \sqrt{132^{2} - 4 \cdot (- 11 \cdot - 303)}}{2 \cdot - 11}$

Etapa 4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.1.1

Eleve $132$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{17424 - 4 \cdot - 11 \cdot - 303}}{2 \cdot - 11}$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 11 \cdot - 303$ .

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Etapa 4.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 11$ .

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{17424 + 44 \cdot - 303}}{2 \cdot - 11}$

Etapa 4.3.1.2.2

Multiplique $44$ por $- 303$ .

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{17424 - 13332}}{2 \cdot - 11}$

Etapa 4.3.1.3

Subtraia $13332$ de $17424$ .

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{4092}}{2 \cdot - 11}$

Etapa 4.3.1.4

Reescreva $4092$ como $2^{2} \cdot 1023$ .

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Etapa 4.3.1.4.1

Fatore $4$ de $4092$ .

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{4 (1023)}}{2 \cdot - 11}$

Etapa 4.3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1023}}{2 \cdot - 11}$

Etapa 4.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 132 \pm 2 \sqrt{1023}}{2 \cdot - 11}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $2$ por $- 11$ .

$x = \frac{- 132 \pm 2 \sqrt{1023}}{- 22}$

Etapa 4.3.3

Simplifique $\frac{- 132 \pm 2 \sqrt{1023}}{- 22}$ .

$x = \frac{66 \pm \sqrt{1023}}{11}$

Etapa 4.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{66 + \sqrt{1023}}{11}, \frac{66 - \sqrt{1023}}{11}$

$x = \frac{66 \pm \sqrt{1023}}{11}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{66 \pm \sqrt{1023}}{11}$

Forma decimal:

$x = 8.90767010 \dots, 3.09232989 \dots$