Matemática discreta Exemplos

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 28 x - 24$

Etapa 1

Fatore $x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 28 x - 24$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$f (x) = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

Etapa 1.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$f (x) = 2^{4} - 3 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$

Etapa 1.3.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (x) = 16 - 3 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$

Etapa 1.3.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (x) = 16 - 3 \cdot 8 - 6 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$

Etapa 1.3.4

Multiplique $- 3$ por $8$ .

$f (x) = 16 - 24 - 6 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$

Etapa 1.3.5

Subtraia $24$ de $16$ .

$f (x) = - 8 - 6 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$

Etapa 1.3.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (x) = - 8 - 6 \cdot 4 + 28 \cdot 2 - 24$

Etapa 1.3.7

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$f (x) = - 8 - 24 + 28 \cdot 2 - 24$

Etapa 1.3.8

Subtraia $24$ de $- 8$ .

$f (x) = - 32 + 28 \cdot 2 - 24$

Etapa 1.3.9

Multiplique $28$ por $2$ .

$f (x) = - 32 + 56 - 24$

Etapa 1.3.10

Some $- 32$ e $56$ .

$f (x) = 24 - 24$

Etapa 1.3.11

Subtraia $24$ de $24$ .

$f (x) = 0$

Etapa 1.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$f (x) = \frac{x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 28 x - 24}{x - 2}$

Etapa 1.5

Divida $x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 28 x - 24$ por $x - 2$ .

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Etapa 1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$f (x) =$

Etapa 1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$f (x) =$

Etapa 1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$f (x) =$

Etapa 1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{4} - 2 x^{3}$ .

$f (x) =$

Etapa 1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$f (x) =$

Etapa 1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$f (x) =$

Etapa 1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$f (x) =$

Etapa 1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$f (x) =$

Etapa 1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{3} + 2 x^{2}$ .

$f (x) =$

Etapa 1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$f (x) =$

Etapa 1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$f (x) =$

Etapa 1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 8 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$f (x) =$

Etapa 1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$f (x) =$

Etapa 1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 8 x^{2} + 16 x$ .

$f (x) =$

Etapa 1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$f (x) =$

Etapa 1.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$f (x) =$

Etapa 1.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $12 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$f (x) =$

Etapa 1.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$f (x) =$

Etapa 1.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $12 x - 24$ .

$f (x) =$

Etapa 1.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$f (x) =$

Etapa 1.5.21

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$

Etapa 1.6

Escreva $x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 28 x - 24$ como um conjunto de fatores.

$f (x) = (x - 2) (x^{3} - x^{2} - 8 x + 12)$

Etapa 2

Fatore $x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Etapa 2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$f (x) = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Etapa 2.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$f (x) = 2^{3} - 2^{2} - 8 \cdot 2 + 12$

Etapa 2.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (x) = 8 - 2^{2} - 8 \cdot 2 + 12$

Etapa 2.3.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (x) = 8 - 1 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 12$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (x) = 8 - 4 - 8 \cdot 2 + 12$

Etapa 2.3.5

Subtraia $4$ de $8$ .

$f (x) = 4 - 8 \cdot 2 + 12$

Etapa 2.3.6

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$f (x) = 4 - 16 + 12$

Etapa 2.3.7

Subtraia $16$ de $4$ .

$f (x) = - 12 + 12$

Etapa 2.3.8

Some $- 12$ e $12$ .

$f (x) = 0$

Etapa 2.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$f (x) = \frac{x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}{x - 2}$

Etapa 2.5

Divida $x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ por $x - 2$ .

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Etapa 2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$f (x) =$

Etapa 2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$f (x) =$

Etapa 2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$f (x) =$

Etapa 2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 2 x^{2}$ .

$f (x) =$

Etapa 2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$f (x) =$

Etapa 2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$f (x) =$

Etapa 2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$f (x) =$

Etapa 2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$f (x) =$

Etapa 2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} - 2 x$ .

$f (x) =$

Etapa 2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$f (x) =$

Etapa 2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$f (x) =$

Etapa 2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 6 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$f (x) =$

Etapa 2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$f (x) =$

Etapa 2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 6 x + 12$ .

$f (x) =$

Etapa 2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$f (x) =$

Etapa 2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$f (x) = x^{2} + x - 6$

Etapa 2.6

Escreva $x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ como um conjunto de fatores.

$f (x) = (x - 2) ((x - 2) (x^{2} + x - 6))$

Etapa 3

Fatore $x^{2} + x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 3.1

Fatore $x^{2} + x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 3.1.1

Considere a forma $x^{2} + i x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $i$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $1$ .

$f (x) = - 2, 3$

Etapa 3.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f (x) = (x - 2) ((x - 2) ((x - 2) (x + 3)))$

Etapa 3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = (x - 2) ((x - 2) (x - 2) (x + 3))$

Etapa 4

Combine como fatores.

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Etapa 4.1

Combine como fatores.

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Etapa 4.1.1

Eleve $x - 2$ à potência de $1$ .

$f (x) = (x - 2) ((x - 2) (x - 2) (x + 3))$

Etapa 4.1.2

Eleve $x - 2$ à potência de $1$ .

$f (x) = (x - 2) ((x - 2) (x - 2) (x + 3))$

Etapa 4.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x) = (x - 2) ({(x - 2)}^{1 + 1} (x + 3))$

Etapa 4.1.4

Some $1$ e $1$ .

$f (x) = (x - 2) ({(x - 2)}^{2} (x + 3))$

Etapa 4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = (x - 2) {(x - 2)}^{2} (x + 3)$

Etapa 5

Combine como fatores.

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Etapa 5.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x) = {(x - 2)}^{1 + 2} (x + 3)$

Etapa 5.2

Some $1$ e $2$ .

$f (x) = {(x - 2)}^{3} (x + 3)$