Matemática discreta Exemplos

$67416 = 6000 {(1 + r)}^{2}$

Etapa 1

Subtraia $6000 {(1 + r)}^{2}$ dos dois lados da equação.

$67416 - 6000 {(1 + r)}^{2} = 0$

Etapa 2

Simplifique $67416 - 6000 {(1 + r)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reescreva ${(1 + r)}^{2}$ como $(1 + r) (1 + r)$ .

$67416 - 6000 ((1 + r) (1 + r)) = 0$

Etapa 2.1.2

Expanda $(1 + r) (1 + r)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$67416 - 6000 (1 (1 + r) + r (1 + r)) = 0$

Etapa 2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$67416 - 6000 (1 \cdot 1 + 1 r + r (1 + r)) = 0$

Etapa 2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$67416 - 6000 (1 \cdot 1 + 1 r + r \cdot 1 + r \cdot r) = 0$

Etapa 2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$67416 - 6000 (1 + 1 r + r \cdot 1 + r \cdot r) = 0$

Etapa 2.1.3.1.2

Multiplique $r$ por $1$ .

$67416 - 6000 (1 + r + r \cdot 1 + r \cdot r) = 0$

Etapa 2.1.3.1.3

Multiplique $r$ por $1$ .

$67416 - 6000 (1 + r + r + r \cdot r) = 0$

Etapa 2.1.3.1.4

Multiplique $r$ por $r$ .

$67416 - 6000 (1 + r + r + r^{2}) = 0$

Etapa 2.1.3.2

Some $r$ e $r$ .

$67416 - 6000 (1 + 2 r + r^{2}) = 0$

Etapa 2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$67416 - 6000 \cdot 1 - 6000 (2 r) - 6000 r^{2} = 0$

Etapa 2.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Multiplique $- 6000$ por $1$ .

$67416 - 6000 - 6000 (2 r) - 6000 r^{2} = 0$

Etapa 2.1.5.2

Multiplique $2$ por $- 6000$ .

$67416 - 6000 - 12000 r - 6000 r^{2} = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $6000$ de $67416$ .

$61416 - 12000 r - 6000 r^{2} = 0$

Etapa 3

Fatore $- 24$ de $61416 - 12000 r - 6000 r^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reordene a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Mova $61416$ .

$- 12000 r - 6000 r^{2} + 61416 = 0$

Etapa 3.1.2

Reordene $- 12000 r$ e $- 6000 r^{2}$ .

$- 6000 r^{2} - 12000 r + 61416 = 0$

Etapa 3.2

Fatore $- 24$ de $- 6000 r^{2}$ .

$- 24 (250 r^{2}) - 12000 r + 61416 = 0$

Etapa 3.3

Fatore $- 24$ de $- 12000 r$ .

$- 24 (250 r^{2}) - 24 (500 r) + 61416 = 0$

Etapa 3.4

Fatore $- 24$ de $61416$ .

$- 24 (250 r^{2}) - 24 (500 r) - 24 \cdot - 2559 = 0$

Etapa 3.5

Fatore $- 24$ de $- 24 (250 r^{2}) - 24 (500 r)$ .

$- 24 (250 r^{2} + 500 r) - 24 \cdot - 2559 = 0$

Etapa 3.6

Fatore $- 24$ de $- 24 (250 r^{2} + 500 r) - 24 (- 2559)$ .

$- 24 (250 r^{2} + 500 r - 2559) = 0$

Etapa 4

Use a fórmula quadrática para encontrar as raízes de $250 r^{2} + 500 r - 2559 = 0$

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} = 0$

Etapa 4.2

Substitua os valores $a = 250$ , $b = 500$ e $c = - 2559$ na fórmula quadrática e resolva $r$ .

$\frac{- 500 \pm \sqrt{500^{2} - 4 \cdot (250 \cdot - 2559)}}{2 \cdot 250} = 0$

Etapa 4.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Eleve $500$ à potência de $2$ .

$r = \frac{- 500 \pm \sqrt{250000 - 4 \cdot 250 \cdot - 2559}}{2 \cdot 250}$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 250 \cdot - 2559$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $250$ .

$r = \frac{- 500 \pm \sqrt{250000 - 1000 \cdot - 2559}}{2 \cdot 250}$

Etapa 4.3.1.2.2

Multiplique $- 1000$ por $- 2559$ .

$r = \frac{- 500 \pm \sqrt{250000 + 2559000}}{2 \cdot 250}$

Etapa 4.3.1.3

Some $250000$ e $2559000$ .

$r = \frac{- 500 \pm \sqrt{2809000}}{2 \cdot 250}$

Etapa 4.3.1.4

Reescreva $2809000$ como $530^{2} \cdot 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.4.1

Fatore $280900$ de $2809000$ .

$r = \frac{- 500 \pm \sqrt{280900 (10)}}{2 \cdot 250}$

Etapa 4.3.1.4.2

Reescreva $280900$ como $530^{2}$ .

$r = \frac{- 500 \pm \sqrt{530^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 250}$

Etapa 4.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$r = \frac{- 500 \pm 530 \sqrt{10}}{2 \cdot 250}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $2$ por $250$ .

$r = \frac{- 500 \pm 530 \sqrt{10}}{500}$

Etapa 4.3.3

Simplifique $\frac{- 500 \pm 530 \sqrt{10}}{500}$ .

$r = \frac{- 50 \pm 53 \sqrt{10}}{50}$

Etapa 4.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$r = - \frac{50 - 53 \sqrt{10}}{50}, - \frac{50 + 53 \sqrt{10}}{50}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$r = - \frac{50 - 53 \sqrt{10}}{50}, - \frac{50 + 53 \sqrt{10}}{50}$

Forma decimal:

$r = 2.35201431 \dots, - 4.35201431 \dots$