Matemática discreta Exemplos

$(y + 2) (y - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

Etapa 1

Expanda $(y + 2) (y - 6)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(y (y - 6) + 2 (y - 6)) (y^{2} - 4 y + 12)$

Etapa 1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(y \cdot y + y \cdot - 6 + 2 (y - 6)) (y^{2} - 4 y + 12)$

Etapa 1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(y \cdot y + y \cdot - 6 + 2 y + 2 \cdot - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

Etapa 2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$(y^{2} + y \cdot - 6 + 2 y + 2 \cdot - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

Etapa 2.1.2

Mova $- 6$ para a esquerda de $y$ .

$(y^{2} - 6 \cdot y + 2 y + 2 \cdot - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

Etapa 2.1.3

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$(y^{2} - 6 y + 2 y - 12) (y^{2} - 4 y + 12)$

Etapa 2.2

Some $- 6 y$ e $2 y$ .

$(y^{2} - 4 y - 12) (y^{2} - 4 y + 12)$

Etapa 3

Expanda $(y^{2} - 4 y - 12) (y^{2} - 4 y + 12)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) + y^{2} \cdot 12 - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 y^{2} - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Etapa 4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1

Combine os termos opostos em $y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) + y^{2} \cdot 12 - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 y^{2} - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$ .

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Etapa 4.1.1

Reorganize os fatores nos termos $y^{2} \cdot 12$ e $- 12 y^{2}$ .

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) + 12 y^{2} - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 y^{2} - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Etapa 4.1.2

Subtraia $12 y^{2}$ de $12 y^{2}$ .

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 + 0 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Etapa 4.1.3

Some $y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12$ e $0$ .

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $y^{2}$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y^{2 + 2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Etapa 4.2.1.2

Some $2$ e $2$ .

$y^{4} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Etapa 4.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y^{4} - 4 y^{2} y - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Etapa 4.2.3

Multiplique $y^{2}$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.3.1

Mova $y$ .

$y^{4} - 4 (y \cdot y^{2}) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Etapa 4.2.3.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

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Etapa 4.2.3.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y^{4} - 4 (y^{1} y^{2}) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Etapa 4.2.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y^{4} - 4 y^{1 + 2} - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Etapa 4.2.3.3

Some $1$ e $2$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Etapa 4.2.4

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.4.1

Mova $y^{2}$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 (y^{2} y) - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Etapa 4.2.4.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 4.2.4.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 (y^{2} y^{1}) - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Etapa 4.2.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{2 + 1} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Etapa 4.2.4.3

Some $2$ e $1$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Etapa 4.2.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 \cdot - 4 y \cdot y - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Etapa 4.2.6

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.6.1

Mova $y$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 \cdot - 4 (y \cdot y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Etapa 4.2.6.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 \cdot - 4 y^{2} - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Etapa 4.2.7

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Etapa 4.2.8

Multiplique $12$ por $- 4$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Etapa 4.2.9

Multiplique $- 4$ por $- 12$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y + 48 y - 12 \cdot 12$

Etapa 4.2.10

Multiplique $- 12$ por $12$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y + 48 y - 144$

Etapa 4.3

Simplifique somando os termos.

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Etapa 4.3.1

Combine os termos opostos em $y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y + 48 y - 144$ .

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Etapa 4.3.1.1

Some $- 48 y$ e $48 y$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} + 0 - 144$

Etapa 4.3.1.2

Some $y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2}$ e $0$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 144$

Etapa 4.3.2

Subtraia $4 y^{3}$ de $- 4 y^{3}$ .

$y^{4} - 8 y^{3} + 16 y^{2} - 144$

Etapa 5

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 5.1

Reescreva $y^{4}$ como ${(y^{2})}^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} - 8 y^{3} + 16 y^{2} - 144$

Etapa 5.2

Reescreva $16 y^{2}$ como ${(4 y)}^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} - 8 y^{3} + {(4 y)}^{2} - 144$

Etapa 5.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$8 y^{3} = 2 \cdot y^{2} \cdot (4 y)$

Etapa 5.4

Reescreva o polinômio.

${(y^{2})}^{2} - 2 \cdot y^{2} \cdot (4 y) + {(4 y)}^{2} - 144$

Etapa 5.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = y^{2}$ e $b = 4 y$ .

${(y^{2} - 4 y)}^{2} - 144$

Etapa 6

Reescreva $144$ como $12^{2}$ .

${(y^{2} - 4 y)}^{2} - 12^{2}$

Etapa 7

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y^{2} - 4 y$ e $b = 12$ .

$(y^{2} - 4 y + 12) (y^{2} - 4 y - 12)$

Etapa 8

Fatore.

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Etapa 8.1

Fatore $y^{2} - 4 y - 12$ usando o método AC.

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Etapa 8.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 6, 2$

Etapa 8.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(y^{2} - 4 y + 12) ((y - 6) (y + 2))$

Etapa 8.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(y^{2} - 4 y + 12) (y - 6) (y + 2)$