Matemática discreta Exemplos

$x^{6} + 72 x^{3} + 512$

Etapa 1

Reescreva $x^{6}$ como ${(x^{3})}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} + 72 x^{3} + 512$

Etapa 2

Deixe $u = x^{3}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{3}$ .

$u^{2} + 72 u + 512$

Etapa 3

Fatore $u^{2} + 72 u + 512$ usando o método AC.

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Etapa 3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $512$ e cuja soma é $72$ .

$8, 64$

Etapa 3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u + 8) (u + 64)$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$(x^{3} + 8) (x^{3} + 64)$

Etapa 5

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$(x^{3} + 2^{3}) (x^{3} + 64)$

Etapa 6

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}) (x^{3} + 64)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}) (x^{3} + 64)$

Etapa 7.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) (x^{3} + 64)$

Etapa 8

Reescreva $64$ como $4^{3}$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) (x^{3} + 4^{3})$

Etapa 9

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) ((x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}))$

Etapa 10

Fatore.

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Etapa 10.1

Simplifique.

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Etapa 10.1.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) ((x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}))$

Etapa 10.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) ((x + 4) (x^{2} - 4 x + 16))$

Etapa 10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) (x + 4) (x^{2} - 4 x + 16)$