Matemática discreta Exemplos

$p = \frac{12 z + 30}{2 z} \div \frac{16 z + 40}{4 z}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{12 x + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$ é indefinida.

$x = - \frac{5}{2}, x = 0$

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Avalie $lim_{x \to \infty} \frac{12 x + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$ para encontrar a assíntota horizontal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reduza.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum de $12 x + 30$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Fatore $2$ de $12 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x) + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Etapa 3.1.1.2

Fatore $2$ de $30$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x) + 2 \cdot 15}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Etapa 3.1.1.3

Fatore $2$ de $2 (6 x) + 2 (15)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Etapa 3.1.1.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.4.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 (x)} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Etapa 3.1.1.4.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Etapa 3.1.1.4.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum de $16 x + 40$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Fatore $4$ de $16 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x) + 40}{4 x}$

Etapa 3.1.2.2

Fatore $4$ de $40$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x) + 4 \cdot 10}{4 x}$

Etapa 3.1.2.3

Fatore $4$ de $4 (4 x) + 4 (10)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 x}$

Etapa 3.1.2.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.1

Fatore $4$ de $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 (x)}$

Etapa 3.1.2.4.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 x}$

Etapa 3.1.2.4.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 x + 10}{x}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Etapa 3.3

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x}{x} + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Etapa 3.4

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x}{x} + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Etapa 3.4.1.2

Divida $6$ por $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Etapa 3.4.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Etapa 3.4.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Etapa 3.4.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Etapa 3.4.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} 6 + lim_{x \to \infty} \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Etapa 3.4.5

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + lim_{x \to \infty} \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Etapa 3.4.6

Mova o termo $15$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\frac{6 + 15 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Etapa 3.5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Etapa 3.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Etapa 3.7

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Etapa 3.8

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Etapa 3.8.1.2

Divida $4$ por $1$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Etapa 3.8.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Etapa 3.8.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{1}}$

Etapa 3.8.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Etapa 3.8.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Etapa 3.8.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Etapa 3.8.6

Mova o termo $10$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Etapa 3.9

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Etapa 3.10

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{1}}$

Etapa 3.10.2

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.1

Divida $6 + 15 \cdot 0$ por $1$ .

$\frac{6 + 15 \cdot 0}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{1}}$

Etapa 3.10.2.2

Divida $4 + 10 \cdot 0$ por $1$ .

$\frac{6 + 15 \cdot 0}{4 + 10 \cdot 0}$

Etapa 3.10.2.3

Cancele o fator comum de $6 + 15 \cdot 0$ e $4 + 10 \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.1

Reordene os termos.

$\frac{6 + 0 \cdot 15}{4 + 10 \cdot 0}$

Etapa 3.10.2.3.2

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 (3) + 0 \cdot 15}{4 + 10 \cdot 0}$

Etapa 3.10.2.3.3

Fatore $2$ de $0 \cdot 15$ .

$\frac{2 (3) + 2 (0 \cdot 15)}{4 + 10 \cdot 0}$

Etapa 3.10.2.3.4

Fatore $2$ de $2 (3) + 2 (0 \cdot 15)$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{4 + 10 \cdot 0}$

Etapa 3.10.2.3.5

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.5.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 \cdot 2 + 10 \cdot 0}$

Etapa 3.10.2.3.5.2

Fatore $2$ de $10 \cdot 0$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 \cdot 2 + 2 (5 \cdot 0)}$

Etapa 3.10.2.3.5.3

Fatore $2$ de $2 (2) + 2 (5 \cdot 0)$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 (2 + 5 \cdot 0)}$

Etapa 3.10.2.3.5.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 (2 + 5 \cdot 0)}$

Etapa 3.10.2.3.5.5

Reescreva a expressão.

$\frac{3 + 0 \cdot 15}{2 + 5 \cdot 0}$

Etapa 3.10.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.4.1

Multiplique $0$ por $15$ .

$\frac{3 + 0}{2 + 5 \cdot 0}$

Etapa 3.10.2.4.2

Some $3$ e $0$ .

$\frac{3}{2 + 5 \cdot 0}$

Etapa 3.10.2.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.5.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{3}{2 + 0}$

Etapa 3.10.2.5.2

Some $2$ e $0$ .

$\frac{3}{2}$

Etapa 4

Liste as assíntotas horizontais:

$y = \frac{3}{2}$

Etapa 5

Não há assíntota oblíqua porque o grau do numerador é menor do que ou igual ao grau do denominador.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Assíntotas horizontais: $y = \frac{3}{2}$

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 7