Matemática discreta Exemplos

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 63 = 4 y^{2}$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da hipérbole.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Subtraia $4 y^{2}$ dos dois lados da equação.

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 63 - 4 y^{2} = 0$

Etapa 1.1.2

Mova $- 63$ .

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 4 y^{2} - 63 = 0$

Etapa 1.1.3

Mova $- 24 y$ .

$9 x^{2} - 18 x - 4 y^{2} - 24 y - 63 = 0$

Etapa 1.1.4

Mova $- 18 x$ .

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y - 63 = 0$

Etapa 1.2

Some $63$ aos dois lados da equação.

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$

Etapa 1.3

Complete o quadrado de $9 x^{2} - 18 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

Etapa 1.3.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.3.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 18$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.3.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

Etapa 1.3.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.3.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 9}{9}$

Etapa 1.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 9$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1

Fatore $9$ de $- 9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

Etapa 1.3.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.2.1

Fatore $9$ de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

Etapa 1.3.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{1}$

Etapa 1.3.3.2.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Etapa 1.3.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.1

Eleve $- 18$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

Etapa 1.3.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

Etapa 1.3.4.2.1.3

Divida $324$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Etapa 1.3.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$e = 0 - 9$

Etapa 1.3.4.2.2

Subtraia $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Etapa 1.3.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$

Etapa 1.4

Substitua $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ por $9 x^{2} - 18 x$ na equação $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9 - 4 y^{2} - 24 y = 63$

Etapa 1.5

Mova $- 9$ para o lado direito da equação, somando $9$ aos dois lados.

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 y^{2} - 24 y = 63 + 9$

Etapa 1.6

Complete o quadrado de $- 4 y^{2} - 24 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 4$

$b = - 24$

$c = 0$

Etapa 1.6.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.6.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot - 4}$

Etapa 1.6.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 24$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

Etapa 1.6.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (- 4)}$

Etapa 1.6.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

Etapa 1.6.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 12}{- 4}$

Etapa 1.6.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 12$ e $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.2.2.1

Fatore $- 4$ de $- 12$ .

$d = \frac{- 4 (3)}{- 4}$

Etapa 1.6.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.2.2.2.1

Fatore $- 4$ de $- 4$ .

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

Etapa 1.6.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

Etapa 1.6.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{3}{1}$

Etapa 1.6.3.2.2.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$d = 3$

Etapa 1.6.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Etapa 1.6.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.2.1.1

Eleve $- 24$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot - 4}$

Etapa 1.6.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$e = 0 - \frac{576}{- 16}$

Etapa 1.6.4.2.1.3

Divida $576$ por $- 16$ .

$e = 0 - - 36$

Etapa 1.6.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 36$ .

$e = 0 + 36$

Etapa 1.6.4.2.2

Some $0$ e $36$ .

$e = 36$

Etapa 1.6.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ .

$- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$

Etapa 1.7

Substitua $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ por $- 4 y^{2} - 24 y$ na equação $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} + 36 = 63 + 9$

Etapa 1.8

Mova $36$ para o lado direito da equação, somando $36$ aos dois lados.

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 63 + 9 - 36$

Etapa 1.9

Simplifique $63 + 9 - 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1

Some $63$ e $9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 72 - 36$

Etapa 1.9.2

Subtraia $36$ de $72$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 36$

Etapa 1.10

Divida cada termo por $36$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{9 {(x - 1)}^{2}}{36} - \frac{4 {(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Etapa 1.11

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 2$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 1$

Etapa 4

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , porque esta hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

Etapa 5

Simplifique para encontrar a primeira assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

Etapa 5.2

Simplifique $\frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - 1) - 3$

Etapa 5.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Etapa 5.2.1.3

Combine $\frac{3}{2}$ e $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3 \cdot - 1}{2} - 3$

Etapa 5.2.1.4.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2} - 3$

Etapa 5.2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} - 3$

Etapa 5.2.2

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 5.2.3

Combine $- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Etapa 5.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3 - 3 \cdot 2}{2}$

Etapa 5.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3 - 6}{2}$

Etapa 5.2.5.2

Subtraia $6$ de $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 9}{2}$

Etapa 5.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}$

Etapa 6

Simplifique para encontrar a segunda assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Remova os parênteses.

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

Etapa 6.2

Simplifique $- \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 1) - 3$

Etapa 6.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Etapa 6.2.1.3

Combine $x$ e $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- \frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 1 (\frac{3}{2}) - 3$

Etapa 6.2.1.4.2

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{3}{2} - 3$

Etapa 6.2.1.5

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} - 3$

Etapa 6.2.2

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 6.2.3

Combine $- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3 - 3 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.5.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3 - 6}{2}$

Etapa 6.2.5.2

Subtraia $6$ de $3$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2}$

Etapa 6.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

Etapa 7

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}, y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

Etapa 8

As assíntotas são $y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}$ e $y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$ .

Assíntotas: $y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}, y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

Etapa 9