Matemática discreta Exemplos

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + (k + 1) (k + 1)$

Etapa 1

Expanda $(k + 1) (k + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k (k + 1) + 1 (k + 1)$

Etapa 1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)$

Etapa 1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1$

Etapa 2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Multiplique $k$ por $k$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1$

Etapa 2.1.2

Multiplique $k$ por $1$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1$

Etapa 2.1.3

Multiplique $k$ por $1$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + k + 1 \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + k + 1$

Etapa 2.2

Some $k$ e $k$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + 2 k + 1$

Etapa 3

Para escrever $k^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} \cdot \frac{6}{6} + 2 k + 1$

Etapa 4

Combine $k^{2}$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + \frac{k^{2} \cdot 6}{6} + 2 k + 1$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6}{6} + 2 k + 1$

Etapa 6

Reordene os termos.

$2 k + \frac{k (k + 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6}{6} + 1$

Etapa 7

Fatore $\frac{1}{6}$ de cada termo.

$\frac{1}{6} (12 k + (k (k + 1)) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Etapa 8

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k \cdot k + k \cdot 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Etapa 9

Multiplique $k$ por $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k^{2} + k \cdot 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Etapa 10

Multiplique $k$ por $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k^{2} + k) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Etapa 11

Expanda $(k^{2} + k) (2 k + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k + 1) + k (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Etapa 11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Etapa 11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Etapa 12

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{2} k + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Etapa 12.1.2

Multiplique $k^{2}$ por $k$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.2.1

Mova $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 (k \cdot k^{2}) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Etapa 12.1.2.2

Multiplique $k$ por $k^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.2.2.1

Eleve $k$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 (k^{1} k^{2}) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Etapa 12.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{1 + 2} + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Etapa 12.1.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Etapa 12.1.3

Multiplique $k^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Etapa 12.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k \cdot k + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Etapa 12.1.5

Multiplique $k$ por $k$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.5.1

Mova $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 (k \cdot k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Etapa 12.1.5.2

Multiplique $k$ por $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k^{2} + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Etapa 12.1.6

Multiplique $k$ por $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k^{2} + k + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Etapa 12.2

Some $k^{2}$ e $2 k^{2}$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + 3 k^{2} + k + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Etapa 13

Mova $6$ para a esquerda de $k^{2}$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + 3 k^{2} + k + 6 k^{2} + 6)$

Etapa 14

Some $12 k$ e $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (2 k^{3} + 3 k^{2} + 13 k + 6 k^{2} + 6)$

Etapa 15

Some $3 k^{2}$ e $6 k^{2}$ .

$\frac{1}{6} \cdot (2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6)$

Etapa 16

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Reescreva $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.1

Fatore $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 16.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Etapa 16.1.1.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.1.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

$2 {(- 1)}^{3} + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

Etapa 16.1.1.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$2 \cdot - 1 + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

Etapa 16.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

Etapa 16.1.1.3.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 2 + 9 \cdot 1 + 13 \cdot - 1 + 6$

Etapa 16.1.1.3.5

Multiplique $9$ por $1$ .

$- 2 + 9 + 13 \cdot - 1 + 6$

Etapa 16.1.1.3.6

Some $- 2$ e $9$ .

$7 + 13 \cdot - 1 + 6$

Etapa 16.1.1.3.7

Multiplique $13$ por $- 1$ .

$7 - 13 + 6$

Etapa 16.1.1.3.8

Subtraia $13$ de $7$ .

$- 6 + 6$

Etapa 16.1.1.3.9

Some $- 6$ e $6$ .

$0$

Etapa 16.1.1.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $k + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6}{k + 1}$

Etapa 16.1.1.5

Divida $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ por $k + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$k$

$1$

$2 k^{3}$

$9 k^{2}$

$13 k$

$6$

Etapa 16.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 k^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $k$ .

					$2 k^{2}$
	$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$

Etapa 16.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			+	$2 k^{3}$	+	$2 k^{2}$

Etapa 16.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 k^{3} + 2 k^{2}$ .

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$

Etapa 16.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$

Etapa 16.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$

Etapa 16.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $7 k^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $k$ .

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$

Etapa 16.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					+	$7 k^{2}$	+	$7 k$

Etapa 16.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $7 k^{2} + 7 k$ .

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$

Etapa 16.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$

Etapa 16.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$

Etapa 16.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $6 k$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $k$ .

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$

Etapa 16.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							+	$6 k$	+	$6$

Etapa 16.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $6 k + 6$ .

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							-	$6 k$	-	$6$

Etapa 16.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							-	$6 k$	-	$6$
										$0$

Etapa 16.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 k^{2} + 7 k + 6$

Etapa 16.1.1.6

Escreva $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ como um conjunto de fatores.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 7 k + 6))$

Etapa 16.1.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ e cuja soma é $b = 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.2.1.1.1

Fatore $7$ de $7 k$ .

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 7 (k) + 6))$

Etapa 16.1.2.1.1.2

Reescreva $7$ como $3$ mais $4$

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + (3 + 4) k + 6))$

Etapa 16.1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 3 k + 4 k + 6))$

Etapa 16.1.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) ((2 k^{2} + 3 k) + 4 k + 6))$

Etapa 16.1.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (k (2 k + 3) + 2 (2 k + 3)))$

Etapa 16.1.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 k + 3$ .

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) ((2 k + 3) (k + 2)))$

Etapa 16.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k + 3) (k + 2))$

Etapa 16.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{1}{6} \cdot (k + 1) (2 k + 3) (k + 2)$