Matemática discreta Exemplos

$\frac{4 x - 3}{x^{2} - 9} - \frac{2 x - 3}{x - 3}$

Etapa 1

Para escrever $\frac{4 x - 3}{x^{2} - 9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{2 x - 3}{x - 3}$

Etapa 2

Para escrever $- \frac{2 x - 3}{x - 3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9}$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{2 x - 3}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9}$

Etapa 3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x^{2} - 9) (x - 3)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{4 x - 3}{x^{2} - 9}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(4 x - 3) (x - 3)}{(x^{2} - 9) (x - 3)} - \frac{2 x - 3}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9}$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{2 x - 3}{x - 3}$ por $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9}$ .

$\frac{(4 x - 3) (x - 3)}{(x^{2} - 9) (x - 3)} - \frac{(2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 3.3

Reordene os fatores de $(x^{2} - 9) (x - 3)$ .

$\frac{(4 x - 3) (x - 3)}{(x - 3) (x^{2} - 9)} - \frac{(2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(4 x - 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5

Reescreva $\frac{(4 x - 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.1

Expanda $(4 x - 3) (x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x (x - 3) - 3 (x - 3) - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 - 3 (x - 3) - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2} - 12 x - 3 x - 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{4 x^{2} - 12 x - 3 x + 9 - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.2.2

Subtraia $3 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 + (- (2 x) - - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 + (- 2 x - - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.5

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 + (- 2 x + 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.6

Expanda $(- 2 x + 3) (x^{2} - 9)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x (x^{2} - 9) + 3 (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 9 + 3 (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 9 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.7.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.7.1.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 (x^{2} x) - 2 x \cdot - 9 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.7.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 5.7.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x \cdot - 9 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.7.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x^{2 + 1} - 2 x \cdot - 9 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.7.1.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x^{3} - 2 x \cdot - 9 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.7.2

Multiplique $- 9$ por $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x^{3} + 18 x + 3 x^{2} + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.7.3

Multiplique $3$ por $- 9$ .

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x^{3} + 18 x + 3 x^{2} - 27}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.8

Some $4 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x^{3} + 18 x - 27}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.9

Some $- 15 x$ e $18 x$ .

$\frac{7 x^{2} + 3 x + 9 - 2 x^{3} - 27}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.10

Subtraia $27$ de $9$ .

$\frac{7 x^{2} + 3 x - 2 x^{3} - 18}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.11

Reordene os termos.

$\frac{- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 18}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.12

Reescreva $- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 18$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.12.1

Fatore $- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 18$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 5.12.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 5.12.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 18, \pm 9, \pm 2, \pm 4.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 6$

Etapa 5.12.1.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 5.12.1.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$- 2 \cdot 2^{3} + 7 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - 18$

Etapa 5.12.1.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- 2 \cdot 8 + 7 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - 18$

Etapa 5.12.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$- 16 + 7 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - 18$

Etapa 5.12.1.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 16 + 7 \cdot 4 + 3 \cdot 2 - 18$

Etapa 5.12.1.3.5

Multiplique $7$ por $4$ .

$- 16 + 28 + 3 \cdot 2 - 18$

Etapa 5.12.1.3.6

Some $- 16$ e $28$ .

$12 + 3 \cdot 2 - 18$

Etapa 5.12.1.3.7

Multiplique $3$ por $2$ .

$12 + 6 - 18$

Etapa 5.12.1.3.8

Some $12$ e $6$ .

$18 - 18$

Etapa 5.12.1.3.9

Subtraia $18$ de $18$ .

$0$

Etapa 5.12.1.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 18}{x - 2}$

Etapa 5.12.1.5

Divida $- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 18$ por $x - 2$ .

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Etapa 5.12.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x$

$18$

Etapa 5.12.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$

Etapa 5.12.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Etapa 5.12.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{3} + 4 x^{2}$ .

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Etapa 5.12.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Etapa 5.12.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 5.12.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 5.12.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Etapa 5.12.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{2} - 6 x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Etapa 5.12.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$

Etapa 5.12.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$	-	$18$

Etapa 5.12.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $9 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$	-	$18$

Etapa 5.12.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							+	$9 x$	-	$18$

Etapa 5.12.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $9 x - 18$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$

Etapa 5.12.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$
										$0$

Etapa 5.12.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- 2 x^{2} + 3 x + 9$

Etapa 5.12.1.6

Escreva $- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 18$ como um conjunto de fatores.

$\frac{(x - 2) (- 2 x^{2} + 3 x + 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.12.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.12.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.12.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 2 \cdot 9 = - 18$ e cuja soma é $b = 3$ .

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Etapa 5.12.2.1.1.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{(x - 2) (- 2 x^{2} + 3 (x) + 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.12.2.1.1.2

Reescreva $3$ como $- 3$ mais $6$

$\frac{(x - 2) (- 2 x^{2} + (- 3 + 6) x + 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.12.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x - 2) (- 2 x^{2} - 3 x + 6 x + 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.12.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.12.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(x - 2) ((- 2 x^{2} - 3 x) + 6 x + 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.12.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{(x - 2) (x (- 2 x - 3) - 3 (- 2 x - 3))}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.12.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 2 x - 3$ .

$\frac{(x - 2) ((- 2 x - 3) (x - 3))}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.12.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 5.13

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{(x - 3) (x^{2} - 3^{2})}$

Etapa 5.14

Fatore.

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Etapa 5.14.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{(x - 3) ((x + 3) (x - 3))}$

Etapa 5.14.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{(x - 3) (x + 3) (x - 3)}$

Etapa 5.15

Combine expoentes.

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Etapa 5.15.1

Eleve $x - 3$ à potência de $1$ .

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{{(x - 3)}^{1} (x - 3) (x + 3)}$

Etapa 5.15.2

Eleve $x - 3$ à potência de $1$ .

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{{(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{1} (x + 3)}$

Etapa 5.15.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{{(x - 3)}^{1 + 1} (x + 3)}$

Etapa 5.15.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 3)}$

Etapa 5.16

Reduza a expressão $\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 3)}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.16.1

Fatore $x - 3$ de $(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)$ .

$\frac{(x - 3) ((x - 2) (- 2 x - 3))}{{(x - 3)}^{2} (x + 3)}$

Etapa 5.16.2

Fatore $x - 3$ de ${(x - 3)}^{2} (x + 3)$ .

$\frac{(x - 3) ((x - 2) (- 2 x - 3))}{(x - 3) ((x - 3) (x + 3))}$

Etapa 5.16.3

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 3) ((x - 2) (- 2 x - 3))}{(x - 3) ((x - 3) (x + 3))}$

Etapa 5.16.4

Reescreva a expressão.

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3)}{(x - 3) (x + 3)}$

Etapa 6

Fatore.

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Etapa 6.1

Fatore $- 1$ de $- 2 x - 3$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x) - 3)}{(x - 3) (x + 3)}$

Etapa 6.1.2

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x) - 1 (3))}{(x - 3) (x + 3)}$

Etapa 6.1.3

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - 1 (3)$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x + 3))}{(x - 3) (x + 3)}$

Etapa 6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{(x - 2) \cdot - 1 (2 x + 3)}{(x - 3) (x + 3)}$

Etapa 7

Fatore o negativo.

$\frac{- ((x - 2) (2 x + 3))}{(x - 3) (x + 3)}$

Etapa 8

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{- (x - 2) (2 x + 3)}{(x - 3) (x + 3)}$