Matemática discreta Exemplos

$f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$ como uma equação.

$y = (100 - x) (300 + 15 x)$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = (100 - y) (300 + 15 y)$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $(100 - y) (300 + 15 y) = x$ .

$(100 - y) (300 + 15 y) = x$

Etapa 3.2

Simplifique $(100 - y) (300 + 15 y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Expanda $(100 - y) (300 + 15 y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$100 (300 + 15 y) - y (300 + 15 y) = x$

Etapa 3.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$100 \cdot 300 + 100 (15 y) - y (300 + 15 y) = x$

Etapa 3.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$100 \cdot 300 + 100 (15 y) - y \cdot 300 - y (15 y) = x$

Etapa 3.2.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Multiplique $100$ por $300$ .

$30000 + 100 (15 y) - y \cdot 300 - y (15 y) = x$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $15$ por $100$ .

$30000 + 1500 y - y \cdot 300 - y (15 y) = x$

Etapa 3.2.2.1.3

Multiplique $300$ por $- 1$ .

$30000 + 1500 y - 300 y - y (15 y) = x$

Etapa 3.2.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$30000 + 1500 y - 300 y - 1 \cdot 15 y \cdot y = x$

Etapa 3.2.2.1.5

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.5.1

Mova $y$ .

$30000 + 1500 y - 300 y - 1 \cdot 15 (y \cdot y) = x$

Etapa 3.2.2.1.5.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$30000 + 1500 y - 300 y - 1 \cdot 15 y^{2} = x$

Etapa 3.2.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $15$ .

$30000 + 1500 y - 300 y - 15 y^{2} = x$

Etapa 3.2.2.2

Subtraia $300 y$ de $1500 y$ .

$30000 + 1200 y - 15 y^{2} = x$

Etapa 3.3

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$30000 + 1200 y - 15 y^{2} - x = 0$

Etapa 3.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5

Substitua os valores $a = - 15$ , $b = 1200$ e $c = 30000 - x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 1200 \pm \sqrt{1200^{2} - 4 \cdot (- 15 \cdot (30000 - x))}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.1

Eleve $1200$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 - 4 \cdot - 15 \cdot (30000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 15$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 60 \cdot (30000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 60 \cdot 30000 + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.6.1.4

Multiplique $60$ por $30000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 1800000 + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.6.1.5

Multiplique $- 1$ por $60$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 1800000 - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.6.1.6

Some $1440000$ e $1800000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{3240000 - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.6.1.7

Fatore $60$ de $3240000 - 60 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.7.1

Fatore $60$ de $3240000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000) - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.6.1.7.2

Fatore $60$ de $- 60 x$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000) + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.6.1.7.3

Fatore $60$ de $60 (54000) + 60 (- x)$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.6.1.8

Reescreva $60 (54000 - x)$ como $2^{2} \cdot (15 (54000 - x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.8.1

Fatore $4$ de $60$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{4 (15) (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.6.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (15 (54000 - x))}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.6.1.8.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (15 (54000 - x))}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.6.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $- 15$ .

$y = \frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{- 30}$

Etapa 3.6.3

Simplifique $\frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{- 30}$ .

$y = \frac{600 \pm \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1

Eleve $1200$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 - 4 \cdot - 15 \cdot (30000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.7.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 15$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 60 \cdot (30000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 60 \cdot 30000 + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.7.1.4

Multiplique $60$ por $30000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 1800000 + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.7.1.5

Multiplique $- 1$ por $60$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 1800000 - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.7.1.6

Some $1440000$ e $1800000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{3240000 - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.7.1.7

Fatore $60$ de $3240000 - 60 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.7.1

Fatore $60$ de $3240000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000) - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.7.1.7.2

Fatore $60$ de $- 60 x$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000) + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.7.1.7.3

Fatore $60$ de $60 (54000) + 60 (- x)$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.7.1.8

Reescreva $60 (54000 - x)$ como $2^{2} \cdot (15 (54000 - x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.8.1

Fatore $4$ de $60$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{4 (15) (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.7.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (15 (54000 - x))}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.7.1.8.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (15 (54000 - x))}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.7.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $2$ por $- 15$ .

$y = \frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{- 30}$

Etapa 3.7.3

Simplifique $\frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{- 30}$ .

$y = \frac{600 \pm \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

Etapa 3.7.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

Etapa 3.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 3.8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1

Eleve $1200$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 - 4 \cdot - 15 \cdot (30000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.8.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 15$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 60 \cdot (30000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.8.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 60 \cdot 30000 + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.8.1.4

Multiplique $60$ por $30000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 1800000 + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.8.1.5

Multiplique $- 1$ por $60$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 1800000 - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.8.1.6

Some $1440000$ e $1800000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{3240000 - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.8.1.7

Fatore $60$ de $3240000 - 60 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.7.1

Fatore $60$ de $3240000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000) - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.8.1.7.2

Fatore $60$ de $- 60 x$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000) + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.8.1.7.3

Fatore $60$ de $60 (54000) + 60 (- x)$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.8.1.8

Reescreva $60 (54000 - x)$ como $2^{2} \cdot (15 (54000 - x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.8.1

Fatore $4$ de $60$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{4 (15) (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.8.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (15 (54000 - x))}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.8.1.8.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (15 (54000 - x))}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.8.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $2$ por $- 15$ .

$y = \frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{- 30}$

Etapa 3.8.3

Simplifique $\frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{- 30}$ .

$y = \frac{600 \pm \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

Etapa 3.8.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

Etapa 3.9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

$y = \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

$y = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

$y = \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}, \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}, \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$ é o inverso de $f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$ e $f^{- 1} (x) = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}, \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 54000]$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{15 (54000 - x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$15 (54000 - x) \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo em $15 (54000 - x) \geq 0$ por $15$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Divida cada termo em $15 (54000 - x) \geq 0$ por $15$ .

$\frac{15 (54000 - x)}{15} \geq \frac{0}{15}$

Etapa 5.3.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{15 (54000 - x)}{15} \geq \frac{0}{15}$

Etapa 5.3.2.1.2.1.2

Divida $54000 - x$ por $1$ .

$54000 - x \geq \frac{0}{15}$

Etapa 5.3.2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.1.3.1

Divida $0$ por $15$ .

$54000 - x \geq 0$

Etapa 5.3.2.2

Subtraia $54000$ dos dois lados da desigualdade.

$- x \geq - 54000$

Etapa 5.3.2.3

Divida cada termo em $- x \geq - 54000$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.3.1

Divida cada termo em $- x \geq - 54000$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 54000}{- 1}$

Etapa 5.3.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 54000}{- 1}$

Etapa 5.3.2.3.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 54000}{- 1}$

Etapa 5.3.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.3.1

Divida $- 54000$ por $- 1$ .

$x \leq 54000$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 54000]$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$ .

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Etapa 5.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}, \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$ é o intervalo de $f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}, \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$ é o domínio de $f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}, \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$ é o inverso de $f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}, \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

Etapa 6