Matemática discreta Exemplos

$f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$ como uma equação.

$y = \sqrt[3]{x^{7}}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt[3]{y^{7}}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\sqrt[3]{y^{7}} = x$ .

$\sqrt[3]{y^{7}} = x$

Etapa 3.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{y^{7}}}^{3} = x^{3}$

Etapa 3.3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{y^{7}}$ como $y^{\frac{7}{3}}$ .

${(y^{\frac{7}{3}})}^{3} = x^{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{7}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{7}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{7}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{7} = x^{3}$

Etapa 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[7]{x^{3}}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$ é o inverso de $f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{(\sqrt[3]{x^{7}})}^{3}}$

Etapa 5.2.3

Reescreva $x^{7}$ como ${(x^{2})}^{3} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Fatore $x^{6}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{\sqrt[3]{x^{6} x}}^{3}}$

Etapa 5.2.3.2

Reescreva $x^{6}$ como ${(x^{2})}^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3} x}}^{3}}$

Etapa 5.2.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{(x^{2} \sqrt[3]{x})}^{3}}$

Etapa 5.2.5

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Aplique a regra do produto a $x^{2} \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{(x^{2})}^{3} {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Etapa 5.2.5.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{2 \cdot 3} {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Etapa 5.2.5.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Etapa 5.2.6

Reescreva ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 5.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 5.2.6.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 5.2.6.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 5.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x}$

Etapa 5.2.6.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x}$

Etapa 5.2.7

Multiplique $x^{6}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1

Multiplique $x^{6}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x}$

Etapa 5.2.7.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6 + 1}}$

Etapa 5.2.7.2

Some $6$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Etapa 5.2.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\sqrt[7]{x^{3}})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{{(\sqrt[7]{x^{3}})}^{7}}$

Etapa 5.3.3

Reescreva ${\sqrt[7]{x^{3}}}^{7}$ como $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[7]{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{7}}$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{{(x^{\frac{3}{7}})}^{7}}$

Etapa 5.3.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{3}{7} \cdot 7}}$

Etapa 5.3.3.3

Combine $\frac{3}{7}$ e $7$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{3 \cdot 7}{7}}}$

Etapa 5.3.3.4

Multiplique $3$ por $7$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{21}{7}}}$

Etapa 5.3.3.5

Cancele o fator comum de $21$ e $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.5.1

Fatore $7$ de $21$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{7 \cdot 3}{7}}}$

Etapa 5.3.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.5.2.1

Fatore $7$ de $7$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{7 \cdot 3}{7 (1)}}}$

Etapa 5.3.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{7 \cdot 3}{7 \cdot 1}}}$

Etapa 5.3.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{3}{1}}}$

Etapa 5.3.3.5.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Etapa 5.3.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$ é o inverso de $f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$