Matemática discreta Exemplos

$f (x) = \frac{x}{x - 7}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{x}{x - 7}$ como uma equação.

$y = \frac{x}{x - 7}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{y}{y - 7}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique a equação por $y - 7$ .

$(y - 7) (x) = (\frac{y}{y - 7}) (y - 7)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y x - 7 x = (\frac{y}{y - 7}) (y - 7)$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $y - 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y x - 7 x = \frac{y}{y - 7} (y - 7)$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y x - 7 x = y$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$y x - 7 x - y = 0$

Etapa 3.4.2

Some $7 x$ aos dois lados da equação.

$y x - y = 7 x$

Etapa 3.4.3

Fatore $y$ de $y x - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Fatore $y$ de $y x$ .

$y (x) - y = 7 x$

Etapa 3.4.3.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 7 x$

Etapa 3.4.3.3

Fatore $y$ de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 7 x$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $y (x - 1) = 7 x$ por $x - 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $y (x - 1) = 7 x$ por $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{7 x}{x - 1}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{7 x}{x - 1}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{7 x}{x - 1}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{x - 1}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{x - 1}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x}{x - 7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{x}{x - 7})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{7 (\frac{x}{x - 7})}{(\frac{x}{x - 7}) - 1}$

Etapa 5.2.3

Combine $7$ e $\frac{x}{x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{\frac{7 x}{x - 7}}{\frac{x}{x - 7} - 1}$

Etapa 5.2.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 7}{x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{\frac{7 x}{x - 7}}{\frac{x}{x - 7} - 1 \cdot \frac{x - 7}{x - 7}}$

Etapa 5.2.4.2

Combine $- 1$ e $\frac{x - 7}{x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{\frac{7 x}{x - 7}}{\frac{x}{x - 7} + \frac{- (x - 7)}{x - 7}}$

Etapa 5.2.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{\frac{7 x}{x - 7}}{\frac{x - (x - 7)}{x - 7}}$

Etapa 5.2.4.4

Reescreva $\frac{x - (x - 7)}{x - 7}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{\frac{7 x}{x - 7}}{\frac{x - x + 7}{x - 7}}$

Etapa 5.2.4.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{\frac{7 x}{x - 7}}{\frac{x - x + 7}{x - 7}}$

Etapa 5.2.4.4.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{\frac{7 x}{x - 7}}{\frac{0 + 7}{x - 7}}$

Etapa 5.2.4.4.4

Some $0$ e $7$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{\frac{7 x}{x - 7}}{\frac{7}{x - 7}}$

Etapa 5.2.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{7 x}{x - 7} \cdot \frac{x - 7}{7}$

Etapa 5.2.6

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1

Fatore $7$ de $7 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{7 (x)}{x - 7} \cdot \frac{x - 7}{7}$

Etapa 5.2.6.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{7 x}{x - 7} \cdot \frac{x - 7}{7}$

Etapa 5.2.6.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{x}{x - 7} \cdot (x - 7)$

Etapa 5.2.7

Cancele o fator comum de $x - 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{x}{x - 7} \cdot (x - 7)$

Etapa 5.2.7.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{7 x}{x - 1})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{\frac{7 x}{x - 1}}{(\frac{7 x}{x - 1}) - 7}$

Etapa 5.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 x}{x - 1} - 7}$

Etapa 5.3.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.4.1

Para escrever $- 7$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 x}{x - 1} - 7 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Etapa 5.3.4.2

Combine $- 7$ e $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 x}{x - 1} + \frac{- 7 (x - 1)}{x - 1}}$

Etapa 5.3.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 x - 7 (x - 1)}{x - 1}}$

Etapa 5.3.4.4

Reescreva $\frac{7 x - 7 (x - 1)}{x - 1}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.3.4.4.1

Fatore $7$ de $7 x - 7 (x - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.4.1.1

Fatore $7$ de $7 x$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 (x) - 7 (x - 1)}{x - 1}}$

Etapa 5.3.4.4.1.2

Fatore $7$ de $- 7 (x - 1)$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 (x) + 7 (- (x - 1))}{x - 1}}$

Etapa 5.3.4.4.1.3

Fatore $7$ de $7 (x) + 7 (- (x - 1))$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 (x - (x - 1))}{x - 1}}$

Etapa 5.3.4.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 (x - x + 1)}{x - 1}}$

Etapa 5.3.4.4.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 (x - x + 1)}{x - 1}}$

Etapa 5.3.4.4.4

Subtraia $x$ de $x$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 (0 + 1)}{x - 1}}$

Etapa 5.3.4.4.5

Some $0$ e $1$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 \cdot 1}{x - 1}}$

Etapa 5.3.4.5

Multiplique $7$ por $1$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7}{x - 1}}$

Etapa 5.3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot (1 (\frac{x - 1}{7}))$

Etapa 5.3.6

Multiplique $\frac{x - 1}{7}$ por $1$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{7}$

Etapa 5.3.7

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1

Fatore $7$ de $7 x$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 (x)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{7}$

Etapa 5.3.7.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{7}$

Etapa 5.3.7.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (x - 1)$

Etapa 5.3.8

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.8.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (x - 1)$

Etapa 5.3.8.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{x - 1}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x}{x - 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{x - 1}$