Matemática discreta Exemplos

$f (x) = \log_{5} (x - 7)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \log_{5} (x - 7)$ como uma equação.

$y = \log_{5} (x - 7)$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \log_{5} (y - 7)$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\log_{5} (y - 7) = x$ .

$\log_{5} (y - 7) = x$

Etapa 3.2

Reescreva $\log_{5} (y - 7) = x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{x} = y - 7$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $y - 7 = 5^{x}$ .

$y - 7 = 5^{x}$

Etapa 3.3.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$y = 5^{x} + 7$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = 5^{x} + 7$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = 5^{x} + 7$ é o inverso de $f (x) = \log_{5} (x - 7)$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\log_{5} (x - 7))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (x - 7)) = 5^{\log_{5} (x - 7)} + 7$

Etapa 5.2.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (\log_{5} (x - 7)) = x - 7 + 7$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $x - 7 + 7$ .

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Etapa 5.2.4.1

Some $- 7$ e $7$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (x - 7)) = x + 0$

Etapa 5.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (x - 7)) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (5^{x} + 7)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (5^{x} + 7) = \log_{5} ((5^{x} + 7) - 7)$

Etapa 5.3.3

Combine os termos opostos em $(5^{x} + 7) - 7$ .

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Etapa 5.3.3.1

Subtraia $7$ de $7$ .

$f (5^{x} + 7) = \log_{5} (5^{x} + 0)$

Etapa 5.3.3.2

Some $5^{x}$ e $0$ .

$f (5^{x} + 7) = \log_{5} (5^{x})$

Etapa 5.3.4

Use as regras logarítmicas para mover $x$ para fora do expoente.

$f (5^{x} + 7) = x \log_{5} (5)$

Etapa 5.3.5

A base do logaritmo $5$ de $5$ é $1$ .

$f (5^{x} + 7) = x \cdot 1$

Etapa 5.3.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (5^{x} + 7) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 5^{x} + 7$ é o inverso de $f (x) = \log_{5} (x - 7)$ .

$f^{- 1} (x) = 5^{x} + 7$