Matemática discreta Exemplos

$f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ como uma equação.

$y = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{- 5}{y^{2 - 4}}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{- 5}{y^{2 - 4}} = x$ .

$\frac{- 5}{y^{2 - 4}} = x$

Etapa 3.2

Fatore cada termo.

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Etapa 3.2.1

Mova $y^{2 - 4}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$- 5 y^{- (2 - 4)} = x$

Etapa 3.2.2

Subtraia $4$ de $2$ .

$- 5 y^{- - 2} = x$

Etapa 3.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- 5 y^{2} = x$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $- 5 y^{2} = x$ por $- 5$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1.1

Divida cada termo em $- 5 y^{2} = x$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 y^{2}}{- 5} = \frac{x}{- 5}$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $- 5$ .

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Etapa 3.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 5 y^{2}}{- 5} = \frac{x}{- 5}$

Etapa 3.3.1.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{- 5}$

Etapa 3.3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = - \frac{x}{5}$

Etapa 3.3.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{5}}$

Etapa 3.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.3.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

Etapa 3.3.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

Etapa 3.3.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$ é o inverso de $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ e $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0]$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\sqrt{- \frac{x}{5}}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{- \frac{x}{5}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$- \frac{x}{5} \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo em $- \frac{x}{5} \geq 0$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.1.1

Divida cada termo em $- \frac{x}{5} \geq 0$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- \frac{x}{5}}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Etapa 5.3.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\frac{x}{5}}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Divida $\frac{x}{5}$ por $1$ .

$\frac{x}{5} \leq \frac{0}{- 1}$

Etapa 5.3.2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.1.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

$\frac{x}{5} \leq 0$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique os dois lados por $5$ .

$\frac{x}{5} \cdot 5 \leq 0 \cdot 5$

Etapa 5.3.2.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.3.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{5} \cdot 5 \leq 0 \cdot 5$

Etapa 5.3.2.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x \leq 0 \cdot 5$

Etapa 5.3.2.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.3.2.1

Multiplique $0$ por $5$ .

$x \leq 0$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0]$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ .

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Etapa 5.4.1

Defina o denominador em $\frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2 - 4} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Simplifique $x^{2 - 4}$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Subtraia $4$ de $2$ .

$x^{- 2} = 0$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

Etapa 5.4.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Etapa 5.4.2.3

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 5.4.3

Defina a base em $x^{2 - 4}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 5.4.4

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5.5

Encontre o intervalo do inverso.

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Etapa 5.5.1

Encontre o intervalo de $\sqrt{- \frac{x}{5}}$ .

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Etapa 5.5.1.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Etapa 5.5.2

Encontre o intervalo de $- \sqrt{- \frac{x}{5}}$ .

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Etapa 5.5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0]$

Etapa 5.5.3

Encontre a união de $[0, \infty), (- \infty, 0]$ .

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Etapa 5.5.3.1

A união consiste em todos os elementos contidos em cada intervalo.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.6

Como o intervalo de $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$ não é igual ao domínio de $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ , então, $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$ não é um inverso de $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ .

Não há inverso

Etapa 6