Matemática discreta Exemplos

$f (x) = \frac{3 x}{x + 5}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{3 x}{x + 5}$ como uma equação.

$y = \frac{3 x}{x + 5}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{3 y}{y + 5}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{3 y}{y + 5} = x$ .

$\frac{3 y}{y + 5} = x$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y + 5, 1$

Etapa 3.2.2

Remova os parênteses.

$y + 5, 1$

Etapa 3.2.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y + 5$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $\frac{3 y}{y + 5} = x$ por $y + 5$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{3 y}{y + 5} = x$ por $y + 5$ .

$\frac{3 y}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $y + 5$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

Etapa 3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$3 y = x (y + 5)$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 y = x y + x \cdot 5$

Etapa 3.3.3.2

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$3 y = x y + 5 x$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

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Etapa 3.4.1

Subtraia $x y$ dos dois lados da equação.

$3 y - x y = 5 x$

Etapa 3.4.2

Fatore $y$ de $3 y - x y$ .

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Etapa 3.4.2.1

Fatore $y$ de $3 y$ .

$y \cdot 3 - x y = 5 x$

Etapa 3.4.2.2

Fatore $y$ de $- x y$ .

$y \cdot 3 + y (- x) = 5 x$

Etapa 3.4.2.3

Fatore $y$ de $y \cdot 3 + y (- x)$ .

$y (3 - x) = 5 x$

Etapa 3.4.3

Divida cada termo em $y (3 - x) = 5 x$ por $3 - x$ e simplifique.

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Etapa 3.4.3.1

Divida cada termo em $y (3 - x) = 5 x$ por $3 - x$ .

$\frac{y (3 - x)}{3 - x} = \frac{5 x}{3 - x}$

Etapa 3.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $3 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (3 - x)}{3 - x} = \frac{5 x}{3 - x}$

Etapa 3.4.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{5 x}{3 - x}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 - x}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 - x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{3 x}{x + 5}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{5 (\frac{3 x}{x + 5})}{3 - (\frac{3 x}{x + 5})}$

Etapa 5.2.3

Combine $5$ e $\frac{3 x}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{3 - \frac{3 x}{x + 5}}$

Etapa 5.2.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.4.1

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{3 (x + 5)}{x + 5} - \frac{3 x}{x + 5}}$

Etapa 5.2.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{3 (x + 5) - 3 x}{x + 5}}$

Etapa 5.2.4.3

Reordene os termos.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{- 3 x + 3 (x + 5)}{x + 5}}$

Etapa 5.2.4.4

Reescreva $\frac{- 3 x + 3 (x + 5)}{x + 5}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.2.4.4.1

Fatore $3$ de $- 3 x + 3 (x + 5)$ .

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Etapa 5.2.4.4.1.1

Fatore $3$ de $- 3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{3 (- x) + 3 (x + 5)}{x + 5}}$

Etapa 5.2.4.4.1.2

Fatore $3$ de $3 (- x) + 3 (x + 5)$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{3 (- x + x + 5)}{x + 5}}$

Etapa 5.2.4.4.2

Some $- x$ e $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{3 (0 + 5)}{x + 5}}$

Etapa 5.2.4.4.3

Some $0$ e $5$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{3 \cdot 5}{x + 5}}$

Etapa 5.2.4.5

Multiplique $3$ por $5$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{15}{x + 5}}$

Etapa 5.2.5

Multiplique $5$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{15 x}{x + 5}}{\frac{15}{x + 5}}$

Etapa 5.2.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{15 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{15}$

Etapa 5.2.7

Cancele o fator comum de $15$ .

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Etapa 5.2.7.1

Fatore $15$ de $15 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{15 (x)}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{15}$

Etapa 5.2.7.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{15 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{15}$

Etapa 5.2.7.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

Etapa 5.2.8

Cancele o fator comum de $x + 5$ .

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Etapa 5.2.8.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

Etapa 5.2.8.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{5 x}{3 - x})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{3 (\frac{5 x}{3 - x})}{(\frac{5 x}{3 - x}) + 5}$

Etapa 5.3.3

Combine $3$ e $\frac{5 x}{3 - x}$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 x}{3 - x} + 5}$

Etapa 5.3.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.4.1

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 - x}{3 - x}$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 x}{3 - x} + \frac{5 (3 - x)}{3 - x}}$

Etapa 5.3.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 x + 5 (3 - x)}{3 - x}}$

Etapa 5.3.4.3

Reordene os termos.

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 x + 5 (3 - x)}{- x + 3}}$

Etapa 5.3.4.4

Reescreva $\frac{5 x + 5 (3 - x)}{- x + 3}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.3.4.4.1

Fatore $5$ de $5 x + 5 (3 - x)$ .

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Etapa 5.3.4.4.1.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 (x) + 5 (3 - x)}{- x + 3}}$

Etapa 5.3.4.4.1.2

Fatore $5$ de $5 (x) + 5 (3 - x)$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 (x + 3 - x)}{- x + 3}}$

Etapa 5.3.4.4.2

Subtraia $x$ de $x$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 (0 + 3)}{- x + 3}}$

Etapa 5.3.4.4.3

Some $0$ e $3$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 \cdot 3}{- x + 3}}$

Etapa 5.3.4.5

Multiplique $5$ por $3$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{15}{- x + 3}}$

Etapa 5.3.5

Multiplique $3$ por $5$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{15 x}{3 - x}}{\frac{15}{- x + 3}}$

Etapa 5.3.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{15 x}{3 - x} \cdot \frac{- x + 3}{15}$

Etapa 5.3.7

Cancele o fator comum de $15$ .

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Etapa 5.3.7.1

Fatore $15$ de $15 x$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{15 (x)}{3 - x} \cdot \frac{- x + 3}{15}$

Etapa 5.3.7.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{15 x}{3 - x} \cdot \frac{- x + 3}{15}$

Etapa 5.3.7.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{x}{3 - x} \cdot (- x + 3)$

Etapa 5.3.8

Multiplique $\frac{x}{3 - x}$ por $- x + 3$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{x (- x + 3)}{3 - x}$

Etapa 5.3.9

Cancele o fator comum de $- x + 3$ e $3 - x$ .

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Etapa 5.3.9.1

Reordene os termos.

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{x (- x + 3)}{- x + 3}$

Etapa 5.3.9.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{x (- x + 3)}{- x + 3}$

Etapa 5.3.9.3

Divida $x$ por $1$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 - x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{3 x}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 - x}$