Matemática discreta Exemplos

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ como uma equação.

$y = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{1}{2} y^{2} - 3 y - 1$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{2} y^{2} - 3 y - 1 = x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y - 1 = x$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - 1 = x$

Etapa 3.3

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - 1 - x = 0$

Etapa 3.4

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $2$ . Depois, simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 \cdot - 1 + 2 (- x) = 0$

Etapa 3.4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 \cdot - 1 + 2 (- x) = 0$

Etapa 3.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} + 2 (- 3 y) + 2 \cdot - 1 + 2 (- x) = 0$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$y^{2} - 6 y + 2 \cdot - 1 + 2 (- x) = 0$

Etapa 3.4.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y^{2} - 6 y - 2 + 2 (- x) = 0$

Etapa 3.4.2.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 - 2 x = 0$

Etapa 3.4.3

Mova $- 2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 x - 2 = 0$

Etapa 3.4.4

Mova $- 6 y$ .

$y^{2} - 2 x - 6 y - 2 = 0$

Etapa 3.5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.6

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 6$ e $c = - 2 x - 2$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.6

Some $36$ e $8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{8 x + 44}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.7

Fatore $4$ de $8 x + 44$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.7.1

Fatore $4$ de $8 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x) + 44}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.7.2

Fatore $4$ de $44$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x) + 4 (11)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.7.3

Fatore $4$ de $4 (2 x) + 4 (11)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.8

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (2 x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2}$

Etapa 3.7.3

Simplifique $\frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{2 x + 11}$

Etapa 3.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 3.8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.5

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.6

Some $36$ e $8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{8 x + 44}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.7

Fatore $4$ de $8 x + 44$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.7.1

Fatore $4$ de $8 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x) + 44}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.7.2

Fatore $4$ de $44$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x) + 4 (11)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.7.3

Fatore $4$ de $4 (2 x) + 4 (11)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.8

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (2 x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2}$

Etapa 3.8.3

Simplifique $\frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{2 x + 11}$

Etapa 3.8.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = 3 + \sqrt{2 x + 11}$

Etapa 3.9

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 3.9.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.9.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.9.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.9.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.9.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.9.1.5

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.9.1.6

Some $36$ e $8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{8 x + 44}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.9.1.7

Fatore $4$ de $8 x + 44$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.7.1

Fatore $4$ de $8 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x) + 44}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.9.1.7.2

Fatore $4$ de $44$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x) + 4 (11)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.9.1.7.3

Fatore $4$ de $4 (2 x) + 4 (11)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.9.1.8

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (2 x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.9.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.9.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2}$

Etapa 3.9.3

Simplifique $\frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{2 x + 11}$

Etapa 3.9.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = 3 - \sqrt{2 x + 11}$

Etapa 3.10

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = 3 + \sqrt{2 x + 11}$

$y = 3 - \sqrt{2 x + 11}$

$y = 3 + \sqrt{2 x + 11}$

$y = 3 - \sqrt{2 x + 11}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ e $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- \frac{11}{2}, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $3 + \sqrt{2 x + 11}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{2 x + 11}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$2 x + 11 \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Subtraia $11$ dos dois lados da desigualdade.

$2 x \geq - 11$

Etapa 5.3.2.2

Divida cada termo em $2 x \geq - 11$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.2.1

Divida cada termo em $2 x \geq - 11$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 11}{2}$

Etapa 5.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 11}{2}$

Etapa 5.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{- 11}{2}$

Etapa 5.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x \geq - \frac{11}{2}$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- \frac{11}{2}, \infty)$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ .

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Etapa 5.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$ é o intervalo de $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$ é o domínio de $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ , então, $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ .

$f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$

Etapa 6