Matemática discreta Exemplos

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Etapa 1

Escreva

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ como uma equação.

y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

$y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

x = \frac{y^{2} - 1}{y - 1}

$x = \frac{y^{2} - 1}{y - 1}$

Etapa 3

Resolva

y

$y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como

\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x

$\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$ .

\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x

$\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$

Etapa 3.2

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Reescreva

1

$1$ como

1^{2}

$1^{2}$ .

\frac{y^{2} - 1^{2}}{y - 1} = x

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y - 1} = x$

Etapa 3.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que

a = y

$a = y$ e

b = 1

$b = 1$ .

\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

Etapa 3.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Reduza a expressão

\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1}

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

Etapa 3.2.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y + 1}{1} = x$

Etapa 3.2.3.2

Divida

$y + 1$ por

$1$ .

$y + 1 = x$

Etapa 3.3

Subtraia

$1$ dos dois lados da equação.

$y = x - 1$

Etapa 4

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x - 1$

Etapa 5

Verifique se

$f^{- 1} (x) = x - 1$ é o inverso de

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se

$f^{- 1} (f (x)) = x$ e

$f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie

$f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1})$ substituindo o valor de

$f$ em

$f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) - 1$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Reescreva

$1$ como

$1^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1} - 1$

Etapa 5.2.3.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que

$a = x$ e

$b = 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

Etapa 5.2.3.2

Cancele o fator comum de

$x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

Etapa 5.2.3.2.2

Divida

$x + 1$ por

$1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 1 - 1$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em

$x + 1 - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Subtraia

$1$ de

$1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 0$

Etapa 5.2.4.2

Some

$x$ e

$0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x$

Etapa 5.3

Avalie

$f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie

$f (x - 1)$ substituindo o valor de

$f^{- 1}$ em

$f$ .

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1}{(x - 1) - 1}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Reescreva

$1$ como

$1^{2}$ .

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1^{2}}{x - 1 - 1}$

Etapa 5.3.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que

$a = x - 1$ e

$b = 1$ .

$f (x - 1) = \frac{(x - 1 + 1) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Etapa 5.3.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.3.1

Some

$- 1$ e

$1$ .

$f (x - 1) = \frac{(x + 0) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Etapa 5.3.3.3.2

Some

$x$ e

$0$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Etapa 5.3.3.3.3

Subtraia

$1$ de

$- 1$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 1 - 1}$

Etapa 5.3.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Subtraia

$1$ de

$- 1$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 5.3.4.2

Cancele o fator comum de

$x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.1

Cancele o fator comum.

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 5.3.4.2.2

Divida

$x$ por

$1$ .

$f (x - 1) = x$

Etapa 5.4

Como

$f^{- 1} (f (x)) = x$ e

$f (f^{- 1} (x)) = x$ , então,

$f^{- 1} (x) = x - 1$ é o inverso de

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x - 1$