Matemática discreta Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ como uma equação.

$y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{y^{2} - 1}{y - 1}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$ .

$\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$

Etapa 3.2

Fatore cada termo.

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Etapa 3.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y - 1} = x$

Etapa 3.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

Etapa 3.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 3.2.3.1

Reduza a expressão $\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

Etapa 3.2.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y + 1}{1} = x$

Etapa 3.2.3.2

Divida $y + 1$ por $1$ .

$y + 1 = x$

Etapa 3.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = x - 1$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x - 1$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = x - 1$ é o inverso de $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) - 1$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.3.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1} - 1$

Etapa 5.2.3.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

Etapa 5.2.3.2

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

Etapa 5.2.3.2.2

Divida $x + 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 1 - 1$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $x + 1 - 1$ .

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Etapa 5.2.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 0$

Etapa 5.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (x - 1)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1}{(x - 1) - 1}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1^{2}}{x - 1 - 1}$

Etapa 5.3.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x - 1$ e $b = 1$ .

$f (x - 1) = \frac{(x - 1 + 1) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Etapa 5.3.3.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.3.3.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f (x - 1) = \frac{(x + 0) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Etapa 5.3.3.3.2

Some $x$ e $0$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Etapa 5.3.3.3.3

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 1 - 1}$

Etapa 5.3.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.3.4.1

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 5.3.4.2

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 5.3.4.2.1

Cancele o fator comum.

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 5.3.4.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$f (x - 1) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = x - 1$ é o inverso de $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x - 1$