Matemática discreta Exemplos

$f (x) = 2 \sin (2 x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 2 \sin (2 x)$ como uma equação.

$y = 2 \sin (2 x)$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 2 \sin (2 y)$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $2 \sin (2 y) = x$ .

$2 \sin (2 y) = x$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $2 \sin (2 y) = x$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $2 \sin (2 y) = x$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (2 y)}{2} = \frac{x}{2}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (2 y)}{2} = \frac{x}{2}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $\sin (2 y)$ por $1$ .

$\sin (2 y) = \frac{x}{2}$

Etapa 3.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do seno.

$2 y = \arcsin (\frac{x}{2})$

Etapa 3.4

Divida cada termo em $2 y = \arcsin (\frac{x}{2})$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.4.1

Divida cada termo em $2 y = \arcsin (\frac{x}{2})$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}$

Etapa 3.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}$ é o inverso de $f (x) = 2 \sin (2 x)$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (2 \sin (2 x))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sin (2 x)) = \frac{\arcsin (\frac{2 \sin (2 x)}{2})}{2}$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (2 \sin (2 x)) = \frac{\arcsin (\frac{2 \sin (2 x)}{2})}{2}$

Etapa 5.2.3.2

Divida $\sin (2 x)$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 \sin (2 x)) = \frac{\arcsin (\sin (2 x))}{2}$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}) = 2 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}))$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}) = 2 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}))$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}))$

Etapa 5.3.4

As funções seno e arco seno são inversos.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}) = 2 (\frac{x}{2})$

Etapa 5.3.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.5.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}) = 2 (\frac{x}{2})$

Etapa 5.3.5.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}$ é o inverso de $f (x) = 2 \sin (2 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}$