Matemática discreta Exemplos

$f (x) = 2 + \sqrt{x + 5}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 2 + \sqrt{x + 5}$ como uma equação.

$y = 2 + \sqrt{x + 5}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 2 + \sqrt{y + 5}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $2 + \sqrt{y + 5} = x$ .

$2 + \sqrt{y + 5} = x$

Etapa 3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{y + 5} = x - 2$

Etapa 3.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{y + 5}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 3.4

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y + 5}$ como ${(y + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(y + 5)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.2

Simplifique.

$y + 5 = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Simplifique ${(x - 2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1

Reescreva ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$y + 5 = (x - 2) (x - 2)$

Etapa 3.4.3.1.2

Expanda $(x - 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 5 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Etapa 3.4.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 5 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Etapa 3.4.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 5 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Etapa 3.4.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$y + 5 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Etapa 3.4.3.1.3.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$y + 5 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Etapa 3.4.3.1.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$y + 5 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Etapa 3.4.3.1.3.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$y + 5 = x^{2} - 4 x + 4$

Etapa 3.5

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.5.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$y = x^{2} - 4 x + 4 - 5$

Etapa 3.5.2

Subtraia $5$ de $4$ .

$y = x^{2} - 4 x - 1$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x - 1$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x - 1$ é o inverso de $f (x) = 2 + \sqrt{x + 5}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = {(2 + \sqrt{x + 5})}^{2} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1

Reescreva ${(2 + \sqrt{x + 5})}^{2}$ como $(2 + \sqrt{x + 5}) (2 + \sqrt{x + 5})$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = (2 + \sqrt{x + 5}) (2 + \sqrt{x + 5}) - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Etapa 5.2.3.2

Expanda $(2 + \sqrt{x + 5}) (2 + \sqrt{x + 5})$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 2 (2 + \sqrt{x + 5}) + \sqrt{x + 5} (2 + \sqrt{x + 5}) - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Etapa 5.2.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} (2 + \sqrt{x + 5}) - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Etapa 5.2.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \cdot 2 + \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Etapa 5.2.3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.3.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \cdot 2 + \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Etapa 5.2.3.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Etapa 5.2.3.3.1.3

Multiplique $\sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5}$ .

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Etapa 5.2.3.3.1.3.1

Eleve $\sqrt{x + 5}$ à potência de $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Etapa 5.2.3.3.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {\sqrt{x + 5}}^{1 + 1} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Etapa 5.2.3.3.1.3.3

Some $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {\sqrt{x + 5}}^{2} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Etapa 5.2.3.3.1.4

Reescreva ${\sqrt{x + 5}}^{2}$ como $x + 5$ .

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Etapa 5.2.3.3.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 5}$ como ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Etapa 5.2.3.3.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Etapa 5.2.3.3.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Etapa 5.2.3.3.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.3.3.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Etapa 5.2.3.3.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + x + 5 - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Etapa 5.2.3.3.1.4.5

Simplifique.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + x + 5 - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Etapa 5.2.3.3.2

Some $4$ e $5$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + x - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Etapa 5.2.3.3.3

Some $2 \sqrt{x + 5}$ e $2 \sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + 4 \sqrt{x + 5} + x - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Etapa 5.2.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + 4 \sqrt{x + 5} + x - 4 \cdot 2 - 4 \sqrt{x + 5} - 1$

Etapa 5.2.3.5

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + 4 \sqrt{x + 5} + x - 8 - 4 \sqrt{x + 5} - 1$

Etapa 5.2.4

Simplifique somando os termos.

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Etapa 5.2.4.1

Combine os termos opostos em $9 + 4 \sqrt{x + 5} + x - 8 - 4 \sqrt{x + 5} - 1$ .

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Etapa 5.2.4.1.1

Subtraia $4 \sqrt{x + 5}$ de $4 \sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + x - 8 + 0 - 1$

Etapa 5.2.4.1.2

Some $9 + x - 8$ e $0$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + x - 8 - 1$

Etapa 5.2.4.2

Subtraia $8$ de $9$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = x + 1 - 1$

Etapa 5.2.4.3

Combine os termos opostos em $x + 1 - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.3.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = x + 0$

Etapa 5.2.4.3.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (x^{2} - 4 x - 1)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{(x^{2} - 4 x - 1) + 5}$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Some $- 1$ e $5$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 5.3.3.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Etapa 5.3.3.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Etapa 5.3.3.2.3

Reescreva o polinômio.

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Etapa 5.3.3.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 2$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 5.3.3.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + x - 2$

Etapa 5.3.4

Combine os termos opostos em $2 + x - 2$ .

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Etapa 5.3.4.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = x + 0$

Etapa 5.3.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x - 1$ é o inverso de $f (x) = 2 + \sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x - 1$