Matemática discreta Exemplos

$f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 2$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 2$ como uma equação.

$y = 2 x^{2} - 4 x - 2$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 2 y^{2} - 4 y - 2$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $2 y^{2} - 4 y - 2 = x$ .

$2 y^{2} - 4 y - 2 = x$

Etapa 3.2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$2 y^{2} - 4 y - 2 - x = 0$

Etapa 3.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.4

Substitua os valores $a = 2$ , $b = - 4$ e $c = - 2 - x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- 2 - x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.1.2

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (2 \cdot (- 2 - x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.1.3

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (2 \cdot (- 2 - x))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 2 \cdot (- 2 - x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.2

Fatore $2$ de $- 4 + 2 \cdot (- 2 - x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.2.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 \cdot - 2 + 2 \cdot (- 2 - x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.2.2

Fatore $2$ de $2 \cdot - 2 + 2 \cdot (- 2 - x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2 - 2 - x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.3

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (2 (- 4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.4

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 8 (- 4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.5

Reescreva $- 8 (- 4 - x)$ como $2^{2} \cdot (- 2 (- 4 - x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.5.1

Fatore $4$ de $- 8$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 2) (- 4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 2 (- 4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.5.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 2 (- 4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{4}$

Etapa 3.5.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{4}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.6.1.1.2

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (2 \cdot (- 2 - x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.6.1.1.3

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (2 \cdot (- 2 - x))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 2 \cdot (- 2 - x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.6.1.2

Fatore $2$ de $- 4 + 2 \cdot (- 2 - x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.2.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 \cdot - 2 + 2 \cdot (- 2 - x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.6.1.2.2

Fatore $2$ de $2 \cdot - 2 + 2 \cdot (- 2 - x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2 - 2 - x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.6.1.3

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (2 (- 4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.6.1.4

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 8 (- 4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.6.1.5

Reescreva $- 8 (- 4 - x)$ como $2^{2} \cdot (- 2 (- 4 - x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.5.1

Fatore $4$ de $- 8$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 2) (- 4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.6.1.5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 2 (- 4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.6.1.5.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 2 (- 4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.6.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{4}$

Etapa 3.6.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{4}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$

Etapa 3.6.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{2 + \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.7.1.1.2

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (2 \cdot (- 2 - x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.7.1.1.3

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (2 \cdot (- 2 - x))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 2 \cdot (- 2 - x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.7.1.2

Fatore $2$ de $- 4 + 2 \cdot (- 2 - x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.2.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 \cdot - 2 + 2 \cdot (- 2 - x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.7.1.2.2

Fatore $2$ de $2 \cdot - 2 + 2 \cdot (- 2 - x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2 - 2 - x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.7.1.3

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (2 (- 4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.7.1.4

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 8 (- 4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.7.1.5

Reescreva $- 8 (- 4 - x)$ como $2^{2} \cdot (- 2 (- 4 - x))$ .

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Etapa 3.7.1.5.1

Fatore $4$ de $- 8$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 2) (- 4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.7.1.5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 2 (- 4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.7.1.5.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 2 (- 4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.7.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{4}$

Etapa 3.7.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{4}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$

Etapa 3.7.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{2 - \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$

Etapa 3.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{2 + \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$

$y = \frac{2 - \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$

$y = \frac{2 + \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$

$y = \frac{2 - \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}, \frac{2 - \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{2 + \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}, \frac{2 - \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$ é o inverso de $f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 2$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 2$ e $f^{- 1} (x) = \frac{2 + \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}, \frac{2 - \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 2$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- 4, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{2 + \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{- 2 (- 4 - x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$- 2 (- 4 - x) \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo em $- 2 (- 4 - x) \geq 0$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.1.1

Divida cada termo em $- 2 (- 4 - x) \geq 0$ por $- 2$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- 2 (- 4 - x)}{- 2} \leq \frac{0}{- 2}$

Etapa 5.3.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 5.3.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 (- 4 - x)}{- 2} \leq \frac{0}{- 2}$

Etapa 5.3.2.1.2.1.2

Divida $- 4 - x$ por $1$ .

$- 4 - x \leq \frac{0}{- 2}$

Etapa 5.3.2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.1.3.1

Divida $0$ por $- 2$ .

$- 4 - x \leq 0$

Etapa 5.3.2.2

Some $4$ aos dois lados da desigualdade.

$- x \leq 4$

Etapa 5.3.2.3

Divida cada termo em $- x \leq 4$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.3.1

Divida cada termo em $- x \leq 4$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4}{- 1}$

Etapa 5.3.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4}{- 1}$

Etapa 5.3.2.3.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{4}{- 1}$

Etapa 5.3.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.3.3.1

Divida $4$ por $- 1$ .

$x \geq - 4$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- 4, \infty)$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 2$ .

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Etapa 5.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{2 + \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}, \frac{2 - \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$ é o intervalo de $f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 2$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{2 + \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}, \frac{2 - \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$ é o domínio de $f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 2$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{2 + \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}, \frac{2 - \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$ é o inverso de $f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}, \frac{2 - \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$

Etapa 6