Matemática discreta Exemplos

$f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 5$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 5$ como uma equação.

$y = 2 x^{2} + 4 x + 5$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 2 y^{2} + 4 y + 5$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $2 y^{2} + 4 y + 5 = x$ .

$2 y^{2} + 4 y + 5 = x$

Etapa 3.2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$2 y^{2} + 4 y + 5 - x = 0$

Etapa 3.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.4

Substitua os valores $a = 2$ , $b = 4$ e $c = 5 - x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot 5 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.4

Multiplique $- 8$ por $5$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 40 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 40 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.6

Subtraia $40$ de $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.7

Fatore $8$ de $- 24 + 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.7.1

Fatore $8$ de $- 24$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 \cdot - 3 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.7.2

Fatore $8$ de $8 \cdot - 3 + 8 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (- 3 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.8

Reescreva $8 (- 3 + x)$ como $2^{2} \cdot (2 (- 3 + x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.8.1

Fatore $4$ de $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (- 3 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- 3 + x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.8.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- 3 + x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- 3 + x)}}{4}$

Etapa 3.5.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- 3 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot 5 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.6.1.4

Multiplique $- 8$ por $5$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 40 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.6.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 40 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.6.1.6

Subtraia $40$ de $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.6.1.7

Fatore $8$ de $- 24 + 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.7.1

Fatore $8$ de $- 24$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 \cdot - 3 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.6.1.7.2

Fatore $8$ de $8 \cdot - 3 + 8 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (- 3 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.6.1.8

Reescreva $8 (- 3 + x)$ como $2^{2} \cdot (2 (- 3 + x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.8.1

Fatore $4$ de $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (- 3 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.6.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- 3 + x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.6.1.8.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- 3 + x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.6.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- 3 + x)}}{4}$

Etapa 3.6.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- 3 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}$

Etapa 3.6.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{- 2 + \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}$

Etapa 3.6.5

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}$

Etapa 3.6.6

Fatore $- 1$ de $\sqrt{2 (- 3 + x)}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{2 (- 3 + x)})}{2}$

Etapa 3.6.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{2 (- 3 + x)})$ .

$y = \frac{- 1 (2 - \sqrt{2 (- 3 + x)})}{2}$

Etapa 3.6.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{2 - \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.7.1.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot 5 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.7.1.4

Multiplique $- 8$ por $5$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 40 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.7.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 40 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.7.1.6

Subtraia $40$ de $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.7.1.7

Fatore $8$ de $- 24 + 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.7.1

Fatore $8$ de $- 24$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 \cdot - 3 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.7.1.7.2

Fatore $8$ de $8 \cdot - 3 + 8 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (- 3 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.7.1.8

Reescreva $8 (- 3 + x)$ como $2^{2} \cdot (2 (- 3 + x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.8.1

Fatore $4$ de $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (- 3 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.7.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- 3 + x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.7.1.8.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- 3 + x))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.7.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- 3 + x)}}{4}$

Etapa 3.7.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- 3 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}$

Etapa 3.7.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{- 2 - \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}$

Etapa 3.7.5

Fatore $- 1$ de $- 2 - \sqrt{2 (- 3 + x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.5.1

Reordene $- 3$ e $x$ .

$y = \frac{- 2 - \sqrt{2 (x - 3)}}{2}$

Etapa 3.7.5.2

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{2 (x - 3)}}{2}$

Etapa 3.7.5.3

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{2 (x - 3)}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{2 (x - 3)})}{2}$

Etapa 3.7.5.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (2) - (\sqrt{2 (x - 3)})$ .

$y = \frac{- 1 (2 + \sqrt{2 (x - 3)})}{2}$

Etapa 3.7.5.5

Reescreva $- 1 (2 + \sqrt{2 (x - 3)})$ como $- (2 + \sqrt{2 (x - 3)})$ .

$y = \frac{- (2 + \sqrt{2 (x - 3)})}{2}$

Etapa 3.7.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (x - 3)}}{2}$

Etapa 3.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - \frac{2 - \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}$

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (x - 3)}}{2}$

$y = - \frac{2 - \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}$

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (x - 3)}}{2}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 - \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}, - \frac{2 + \sqrt{2 (x - 3)}}{2}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = - \frac{2 - \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}, - \frac{2 + \sqrt{2 (x - 3)}}{2}$ é o inverso de $f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 5$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 5$ e $f^{- 1} (x) = - \frac{2 - \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}, - \frac{2 + \sqrt{2 (x - 3)}}{2}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 5$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[3, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $- \frac{2 - \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{2 (- 3 + x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$2 (- 3 + x) \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo em $2 (- 3 + x) \geq 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Divida cada termo em $2 (- 3 + x) \geq 0$ por $2$ .

$\frac{2 (- 3 + x)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Etapa 5.3.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 3 + x)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Etapa 5.3.2.1.2.1.2

Divida $- 3 + x$ por $1$ .

$- 3 + x \geq \frac{0}{2}$

Etapa 5.3.2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.1.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$- 3 + x \geq 0$

Etapa 5.3.2.2

Some $3$ aos dois lados da desigualdade.

$x \geq 3$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[3, \infty)$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 5$ .

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Etapa 5.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = - \frac{2 - \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}, - \frac{2 + \sqrt{2 (x - 3)}}{2}$ é o intervalo de $f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 5$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = - \frac{2 - \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}, - \frac{2 + \sqrt{2 (x - 3)}}{2}$ é o domínio de $f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 5$ , então, $f^{- 1} (x) = - \frac{2 - \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}, - \frac{2 + \sqrt{2 (x - 3)}}{2}$ é o inverso de $f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 5$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 - \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}, - \frac{2 + \sqrt{2 (x - 3)}}{2}$

Etapa 6