Matemática discreta Exemplos

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ como uma equação.

$y = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ .

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$(y - 7) (y + 1), 1$

Etapa 3.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$(y - 7) (y + 1)$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ por $(y - 7) (y + 1)$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ por $(y - 7) (y + 1)$ .

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} ((y - 7) (y + 1)) = x ((y - 7) (y + 1))$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $(y - 7) (y + 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} ((y - 7) (y + 1)) = x ((y - 7) (y + 1))$

Etapa 3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$y - 9 = x ((y - 7) (y + 1))$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Expanda $(y - 7) (y + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 9 = x (y (y + 1) - 7 (y + 1))$

Etapa 3.3.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 9 = x (y \cdot y + y \cdot 1 - 7 (y + 1))$

Etapa 3.3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 9 = x (y \cdot y + y \cdot 1 - 7 y - 7 \cdot 1)$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$y - 9 = x (y^{2} + y \cdot 1 - 7 y - 7 \cdot 1)$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$y - 9 = x (y^{2} + y - 7 y - 7 \cdot 1)$

Etapa 3.3.3.2.1.3

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$y - 9 = x (y^{2} + y - 7 y - 7)$

Etapa 3.3.3.2.2

Subtraia $7 y$ de $y$ .

$y - 9 = x (y^{2} - 6 y - 7)$

Etapa 3.3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 9 = x y^{2} + x (- 6 y) + x \cdot - 7$

Etapa 3.3.3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y + x \cdot - 7$

Etapa 3.3.3.4.2

Mova $- 7$ para a esquerda de $x$ .

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y - 7 \cdot x$

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y - 7 x$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Como $y$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$x y^{2} - 6 x y - 7 x = y - 9$

Etapa 3.4.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$x y^{2} - 6 x y - 7 x - y = - 9$

Etapa 3.4.3

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x y^{2} - 6 x y - 7 x - y + 9 = 0$

Etapa 3.4.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.4.5

Substitua os valores $a = x$ , $b = - 6 x - 1$ e $c = - 7 x + 9$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- (- 6 x - 1) \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (- 7 x + 9))}}{2 x}$

Etapa 3.4.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- (- 6 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.2

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.4

Reescreva ${(- 6 x - 1)}^{2}$ como $(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{(- 6 x - 1) (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.5

Expanda $(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x - 1) - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x \cdot x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.6.1.2.1

Mova $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 (x \cdot x)) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.6.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x^{2}) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.6.1.3

Multiplique $- 6$ por $- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.6.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.6.1.5

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.6.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.6.2

Some $6 x$ e $6 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.7

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 x (- 7 x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.9

Multiplique $9$ por $- 4$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 36 x}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.10

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.10.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.10.1.1

Mova $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 (x \cdot x)) - 36 x}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.10.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x^{2}) - 36 x}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.10.2

Multiplique $- 4$ por $- 7$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 + 28 x^{2} - 36 x}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.11

Some $36 x^{2}$ e $28 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} + 12 x + 1 - 36 x}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.12

Subtraia $36 x$ de $12 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Etapa 3.4.7

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Etapa 3.4.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 3.4.8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.8.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- (- 6 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.8.1.2

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.8.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.8.1.4

Reescreva ${(- 6 x - 1)}^{2}$ como $(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{(- 6 x - 1) (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.8.1.5

Expanda $(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.8.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x - 1) - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.8.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.8.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.8.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.8.1.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.8.1.6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x \cdot x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.8.1.6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.8.1.6.1.2.1

Mova $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 (x \cdot x)) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.8.1.6.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x^{2}) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.8.1.6.1.3

Multiplique $- 6$ por $- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.8.1.6.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.8.1.6.1.5

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.8.1.6.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.8.1.6.2

Some $6 x$ e $6 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Etapa 3.4.8.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 x (- 7 x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Etapa 3.4.8.1.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Etapa 3.4.8.1.9

Multiplique $9$ por $- 4$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 36 x}}{2 x}$

Etapa 3.4.8.1.10

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.8.1.10.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.8.1.10.1.1

Mova $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 (x \cdot x)) - 36 x}}{2 x}$

Etapa 3.4.8.1.10.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x^{2}) - 36 x}}{2 x}$

Etapa 3.4.8.1.10.2

Multiplique $- 4$ por $- 7$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 + 28 x^{2} - 36 x}}{2 x}$

Etapa 3.4.8.1.11

Some $36 x^{2}$ e $28 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} + 12 x + 1 - 36 x}}{2 x}$

Etapa 3.4.8.1.12

Subtraia $36 x$ de $12 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Etapa 3.4.8.2

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Etapa 3.4.9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ e $f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}] \cup [\frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$64 x^{2} - 24 x + 1 \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$64 x^{2} - 24 x + 1 = 0$

Etapa 5.3.2.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.3.2.3

Substitua os valores $a = 64$ , $b = - 24$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (64 \cdot 1)}}{2 \cdot 64}$

Etapa 5.3.2.4

Simplifique.

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Etapa 5.3.2.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.2.4.1.1

Eleve $- 24$ à potência de $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Etapa 5.3.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $64$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Etapa 5.3.2.4.1.2.2

Multiplique $- 256$ por $1$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

Etapa 5.3.2.4.1.3

Subtraia $256$ de $576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

Etapa 5.3.2.4.1.4

Reescreva $320$ como $8^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.1.4.1

Fatore $64$ de $320$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

Etapa 5.3.2.4.1.4.2

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

Etapa 5.3.2.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

Etapa 5.3.2.4.2

Multiplique $2$ por $64$ .

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

Etapa 5.3.2.4.3

Simplifique $\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

Etapa 5.3.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.5.1.1

Eleve $- 24$ à potência de $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Etapa 5.3.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $64$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Etapa 5.3.2.5.1.2.2

Multiplique $- 256$ por $1$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

Etapa 5.3.2.5.1.3

Subtraia $256$ de $576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

Etapa 5.3.2.5.1.4

Reescreva $320$ como $8^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.5.1.4.1

Fatore $64$ de $320$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

Etapa 5.3.2.5.1.4.2

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

Etapa 5.3.2.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

Etapa 5.3.2.5.2

Multiplique $2$ por $64$ .

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

Etapa 5.3.2.5.3

Simplifique $\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

Etapa 5.3.2.5.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

Etapa 5.3.2.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.6.1.1

Eleve $- 24$ à potência de $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Etapa 5.3.2.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $64$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Etapa 5.3.2.6.1.2.2

Multiplique $- 256$ por $1$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

Etapa 5.3.2.6.1.3

Subtraia $256$ de $576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

Etapa 5.3.2.6.1.4

Reescreva $320$ como $8^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.6.1.4.1

Fatore $64$ de $320$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

Etapa 5.3.2.6.1.4.2

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

Etapa 5.3.2.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

Etapa 5.3.2.6.2

Multiplique $2$ por $64$ .

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

Etapa 5.3.2.6.3

Simplifique $\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

Etapa 5.3.2.6.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

Etapa 5.3.2.7

Consolide as soluções.

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

Etapa 5.3.2.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

Etapa 5.3.2.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.9.1

Teste um valor no intervalo $x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 5.3.2.9.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$64 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 1 \geq 0$

Etapa 5.3.2.9.1.3

O lado esquerdo $1$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 5.3.2.9.2

Teste um valor no intervalo $\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.19$

Etapa 5.3.2.9.2.2

Substitua $x$ por $0.19$ na desigualdade original.

$64 {(0.19)}^{2} - 24 \cdot 0.19 + 1 \geq 0$

Etapa 5.3.2.9.2.3

O lado esquerdo $- 1.2496$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 5.3.2.9.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.2.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 5.3.2.9.3.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$64 {(3)}^{2} - 24 \cdot 3 + 1 \geq 0$

Etapa 5.3.2.9.3.3

O lado esquerdo $505$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 5.3.2.9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ Verdadeiro

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Falso

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Verdadeiro

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ Verdadeiro

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Falso

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Verdadeiro

Etapa 5.3.2.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ ou $x \geq \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

Etapa 5.3.3

Defina o denominador em $\frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 x = 0$

Etapa 5.3.4

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.3.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 5.3.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.4.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 5.3.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}] \cup [\frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \infty)$

Etapa 5.4

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ não é igual ao intervalo de $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ não é um inverso de $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ .

Não há inverso

Etapa 6