Matemática discreta Exemplos

$f (x) = x^{2} - 1 x - 30$

Etapa 1

Escreva $f (x) = x^{2} - 1 x - 30$ como uma equação.

$y = x^{2} - 1 x - 30$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = y^{2} - 1 y - 30$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $y^{2} - 1 y - 30 = x$ .

$y^{2} - 1 y - 30 = x$

Etapa 3.2

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$y^{2} - y - 30 = x$

Etapa 3.3

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - y - 30 - x = 0$

Etapa 3.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 1$ e $c = - 30 - x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 30 - x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 30 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 30 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 30 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 30$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 120 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 120 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.6

Some $1$ e $120$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{121 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{121 + 4 x}}{2}$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 30 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 30 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 30 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 30$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 120 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 120 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.6

Some $1$ e $120$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{121 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{121 + 4 x}}{2}$

Etapa 3.7.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{121 + 4 x}}{2}$

Etapa 3.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 30 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 30 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 30 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 30$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 120 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 120 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.6

Some $1$ e $120$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{121 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{121 + 4 x}}{2}$

Etapa 3.8.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{1 - \sqrt{121 + 4 x}}{2}$

Etapa 3.9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{1 + \sqrt{121 + 4 x}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{121 + 4 x}}{2}$

$y = \frac{1 + \sqrt{121 + 4 x}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{121 + 4 x}}{2}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{121 + 4 x}}{2}, \frac{1 - \sqrt{121 + 4 x}}{2}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{121 + 4 x}}{2}, \frac{1 - \sqrt{121 + 4 x}}{2}$ é o inverso de $f (x) = x^{2} - 1 x - 30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = x^{2} - 1 x - 30$ e $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{121 + 4 x}}{2}, \frac{1 - \sqrt{121 + 4 x}}{2}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = x^{2} - 1 x - 30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- \frac{121}{4}, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{1 + \sqrt{121 + 4 x}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{121 + 4 x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$121 + 4 x \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Subtraia $121$ dos dois lados da desigualdade.

$4 x \geq - 121$

Etapa 5.3.2.2

Divida cada termo em $4 x \geq - 121$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Divida cada termo em $4 x \geq - 121$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 121}{4}$

Etapa 5.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 121}{4}$

Etapa 5.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{- 121}{4}$

Etapa 5.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x \geq - \frac{121}{4}$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- \frac{121}{4}, \infty)$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = x^{2} - 1 x - 30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{121 + 4 x}}{2}, \frac{1 - \sqrt{121 + 4 x}}{2}$ é o intervalo de $f (x) = x^{2} - 1 x - 30$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{121 + 4 x}}{2}, \frac{1 - \sqrt{121 + 4 x}}{2}$ é o domínio de $f (x) = x^{2} - 1 x - 30$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{121 + 4 x}}{2}, \frac{1 - \sqrt{121 + 4 x}}{2}$ é o inverso de $f (x) = x^{2} - 1 x - 30$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{121 + 4 x}}{2}, \frac{1 - \sqrt{121 + 4 x}}{2}$

Etapa 6