Matemática discreta Exemplos

$f (x) = 3 - 4 x^{2}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 3 - 4 x^{2}$ como uma equação.

$y = 3 - 4 x^{2}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 3 - 4 y^{2}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $3 - 4 y^{2} = x$ .

$3 - 4 y^{2} = x$

Etapa 3.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- 4 y^{2} = x - 3$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $- 4 y^{2} = x - 3$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $- 4 y^{2} = x - 3$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 3}{- 4}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 3}{- 4}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 3}{- 4}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- 3}{- 4}$

Etapa 3.3.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y^{2} = - \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

Etapa 3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}}$

Etapa 3.5

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}}$ .

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Etapa 3.5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x + 3}{4}}$

Etapa 3.5.2

Reescreva $\frac{- x + 3}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (- x + 3)$ .

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Etapa 3.5.2.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $- x + 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x + 3)}{4}}$

Etapa 3.5.2.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x + 3)}{2^{2} \cdot 1}}$

Etapa 3.5.2.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (- x + 3)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (- x + 3)}$

Etapa 3.5.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- x + 3}$

Etapa 3.5.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{- x + 3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3}}{2}$

Etapa 3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{- x + 3}}{2}$

Etapa 3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{- x + 3}}{2}$

Etapa 3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{- x + 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x + 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- x + 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x + 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- x + 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x + 3}}{2}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 3}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 3}}{2}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 3}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 3}}{2}$ é o inverso de $f (x) = 3 - 4 x^{2}$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = 3 - 4 x^{2}$ e $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 3}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 3}}{2}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = 3 - 4 x^{2}$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 3]$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{\sqrt{- x + 3}}{2}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{- x + 3}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$- x + 3 \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da desigualdade.

$- x \geq - 3$

Etapa 5.3.2.2

Divida cada termo em $- x \geq - 3$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x \geq - 3$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.2.3.1

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$x \leq 3$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 3]$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = 3 - 4 x^{2}$ .

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Etapa 5.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 3}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 3}}{2}$ é o intervalo de $f (x) = 3 - 4 x^{2}$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 3}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 3}}{2}$ é o domínio de $f (x) = 3 - 4 x^{2}$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 3}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 3}}{2}$ é o inverso de $f (x) = 3 - 4 x^{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 3}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 3}}{2}$

Etapa 6