Matemática discreta Exemplos

$f (x) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$ como uma equação.

$y = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$a = 7 {(2 y)}^{2} + 2 (2 y)$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $7 {(2 y)}^{2} + 2 \cdot (2 y) = a$ .

$7 {(2 y)}^{2} + 2 \cdot (2 y) = a$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Aplique a regra do produto a $2 y$ .

$7 (2^{2} y^{2}) + 2 \cdot (2 y) = a$

Etapa 3.2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$7 (4 y^{2}) + 2 \cdot (2 y) = a$

Etapa 3.2.3

Multiplique $4$ por $7$ .

$28 y^{2} + 2 \cdot (2 y) = a$

Etapa 3.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$28 y^{2} + 4 y = a$

Etapa 3.3

Subtraia $a$ dos dois lados da equação.

$28 y^{2} + 4 y - a = 0$

Etapa 3.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5

Substitua os valores $a = 28$ , $b = 4$ e $c = - a$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (28 \cdot (- a))}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 28 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 28 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $28$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 112 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.6.1.2.2

Multiplique $- 112$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 112 a}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.6.1.3

Fatore $16$ de $16 + 112 a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.3.1

Fatore $16$ de $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1) + 112 a}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.6.1.3.2

Fatore $16$ de $112 a$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1) + 16 (7 a)}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.6.1.3.3

Fatore $16$ de $16 (1) + 16 (7 a)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.6.1.4

Reescreva $16 (1 + 7 a)$ como ${(2^{2})}^{2} (1 + 7 a)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.4.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{1 + 7 a}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.6.1.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $28$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{56}$

Etapa 3.6.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{56}$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 28 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 28 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $28$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 112 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.7.1.2.2

Multiplique $- 112$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 112 a}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.7.1.3

Fatore $16$ de $16 + 112 a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.3.1

Fatore $16$ de $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1) + 112 a}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.7.1.3.2

Fatore $16$ de $112 a$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1) + 16 (7 a)}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.7.1.3.3

Fatore $16$ de $16 (1) + 16 (7 a)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.7.1.4

Reescreva $16 (1 + 7 a)$ como ${(2^{2})}^{2} (1 + 7 a)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.4.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.7.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{1 + 7 a}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.7.1.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $2$ por $28$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{56}$

Etapa 3.7.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{56}$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

Etapa 3.7.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{- 1 + \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

Etapa 3.7.5

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

Etapa 3.7.6

Fatore $- 1$ de $\sqrt{1 + 7 a}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{1 + 7 a})}{14}$

Etapa 3.7.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{1 + 7 a})$ .

$y = \frac{- 1 (1 - \sqrt{1 + 7 a})}{14}$

Etapa 3.7.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

Etapa 3.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 28 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 28 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $28$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 112 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.8.1.2.2

Multiplique $- 112$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 112 a}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.8.1.3

Fatore $16$ de $16 + 112 a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.3.1

Fatore $16$ de $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1) + 112 a}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.8.1.3.2

Fatore $16$ de $112 a$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1) + 16 (7 a)}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.8.1.3.3

Fatore $16$ de $16 (1) + 16 (7 a)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.8.1.4

Reescreva $16 (1 + 7 a)$ como ${(2^{2})}^{2} (1 + 7 a)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.4.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.8.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.8.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{1 + 7 a}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.8.1.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{2 \cdot 28}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $2$ por $28$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{56}$

Etapa 3.8.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{56}$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

Etapa 3.8.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{- 1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

Etapa 3.8.5

Fatore $- 1$ de $- 1 - \sqrt{1 + 7 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.5.1

Reordene $1$ e $7 a$ .

$y = \frac{- 1 - \sqrt{7 a + 1}}{14}$

Etapa 3.8.5.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{7 a + 1}}{14}$

Etapa 3.8.5.3

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{7 a + 1}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{7 a + 1})}{14}$

Etapa 3.8.5.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (\sqrt{7 a + 1})$ .

$y = \frac{- 1 (1 + \sqrt{7 a + 1})}{14}$

Etapa 3.8.5.5

Reescreva $- 1 (1 + \sqrt{7 a + 1})$ como $- (1 + \sqrt{7 a + 1})$ .

$y = \frac{- (1 + \sqrt{7 a + 1})}{14}$

Etapa 3.8.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$

Etapa 3.9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (a)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (a) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}, - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (a) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}, - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$ é o inverso de $f (a) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (a) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$ e $f^{- 1} (a) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}, - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (a) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- \frac{1}{7}, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $- \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{1 + 7 a}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$1 + 7 a \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $a$ .

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Etapa 5.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$7 a \geq - 1$

Etapa 5.3.2.2

Divida cada termo em $7 a \geq - 1$ por $7$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.2.1

Divida cada termo em $7 a \geq - 1$ por $7$ .

$\frac{7 a}{7} \geq \frac{- 1}{7}$

Etapa 5.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 5.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 a}{7} \geq \frac{- 1}{7}$

Etapa 5.3.2.2.2.1.2

Divida $a$ por $1$ .

$a \geq \frac{- 1}{7}$

Etapa 5.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$a \geq - \frac{1}{7}$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $a$ que tornam a expressão definida.

$[- \frac{1}{7}, \infty)$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (a) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$ .

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Etapa 5.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (a) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}, - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$ é o intervalo de $f (a) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$ , e o intervalo de $f^{- 1} (a) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}, - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$ é o domínio de $f (a) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$ , então, $f^{- 1} (a) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}, - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$ é o inverso de $f (a) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$ .

$f^{- 1} (a) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}, - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$

Etapa 6