Matemática discreta Exemplos

$f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ como uma equação.

$y = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = - 5 y + 5 + y (4 y + 3)$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $- 5 y + 5 + y (4 y + 3) = x$ .

$- 5 y + 5 + y (4 y + 3) = x$

Etapa 3.2

Simplifique $- 5 y + 5 + y (4 y + 3)$ .

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 5 y + 5 + y (4 y) + y \cdot 3 = x$

Etapa 3.2.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 5 y + 5 + 4 y \cdot y + y \cdot 3 = x$

Etapa 3.2.1.3

Mova $3$ para a esquerda de $y$ .

$- 5 y + 5 + 4 y \cdot y + 3 \cdot y = x$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.4.1

Mova $y$ .

$- 5 y + 5 + 4 (y \cdot y) + 3 \cdot y = x$

Etapa 3.2.1.4.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$- 5 y + 5 + 4 y^{2} + 3 \cdot y = x$

$- 5 y + 5 + 4 y^{2} + 3 y = x$

Etapa 3.2.2

Some $- 5 y$ e $3 y$ .

$- 2 y + 5 + 4 y^{2} = x$

Etapa 3.3

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$- 2 y + 5 + 4 y^{2} - x = 0$

Etapa 3.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5

Substitua os valores $a = 4$ , $b = - 2$ e $c = 5 - x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 5 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.6.1.4

Multiplique $- 16$ por $5$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.6.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.6.1.6

Subtraia $80$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 76 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.6.1.7

Fatore $4$ de $- 76 + 16 x$ .

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Etapa 3.6.1.7.1

Fatore $4$ de $- 76$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.6.1.7.2

Fatore $4$ de $16 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 4 (4 x)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.6.1.7.3

Fatore $4$ de $4 (- 19) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.6.1.8

Reescreva $4 (- 19 + 4 x)$ como $2^{2} (- 19 + 2^{2} x)$ .

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Etapa 3.6.1.8.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.6.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 2^{2} x)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.6.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 2^{2} x}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.6.1.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$

Etapa 3.6.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.7.1.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 5 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.7.1.4

Multiplique $- 16$ por $5$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.7.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.7.1.6

Subtraia $80$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 76 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.7.1.7

Fatore $4$ de $- 76 + 16 x$ .

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Etapa 3.7.1.7.1

Fatore $4$ de $- 76$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.7.1.7.2

Fatore $4$ de $16 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 4 (4 x)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.7.1.7.3

Fatore $4$ de $4 (- 19) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.7.1.8

Reescreva $4 (- 19 + 4 x)$ como $2^{2} (- 19 + 2^{2} x)$ .

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Etapa 3.7.1.8.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.7.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 2^{2} x)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.7.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 2^{2} x}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.7.1.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$

Etapa 3.7.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Etapa 3.7.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Etapa 3.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 3.8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.8.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.8.1.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.8.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 5 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.8.1.4

Multiplique $- 16$ por $5$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.8.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.8.1.6

Subtraia $80$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 76 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.8.1.7

Fatore $4$ de $- 76 + 16 x$ .

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Etapa 3.8.1.7.1

Fatore $4$ de $- 76$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.8.1.7.2

Fatore $4$ de $16 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 4 (4 x)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.8.1.7.3

Fatore $4$ de $4 (- 19) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.8.1.8

Reescreva $4 (- 19 + 4 x)$ como $2^{2} (- 19 + 2^{2} x)$ .

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Etapa 3.8.1.8.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.8.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 2^{2} x)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.8.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 2^{2} x}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.8.1.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$

Etapa 3.8.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Etapa 3.8.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Etapa 3.9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

$y = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ é o inverso de $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ e $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[\frac{19}{4}, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{- 19 + 4 x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$- 19 + 4 x \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Some $19$ aos dois lados da desigualdade.

$4 x \geq 19$

Etapa 5.3.2.2

Divida cada termo em $4 x \geq 19$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.2.1

Divida cada termo em $4 x \geq 19$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{19}{4}$

Etapa 5.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{19}{4}$

Etapa 5.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{19}{4}$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[\frac{19}{4}, \infty)$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ .

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Etapa 5.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ é o intervalo de $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ é o domínio de $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ é o inverso de $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Etapa 6