Matemática discreta Exemplos

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ como uma equação.

$y = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{1}{2} \cdot \log (4 y)$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{2} \cdot \log (4 y) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (4 y) = x$

Etapa 3.2

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 y)) = 2 x$

Etapa 3.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 y))$ .

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Etapa 3.3.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\log (4 y)$ .

$2 \frac{\log (4 y)}{2} = 2 x$

Etapa 3.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\log (4 y)}{2} = 2 x$

Etapa 3.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\log (4 y) = 2 x$

Etapa 3.4

Reescreva $\log (4 y) = 2 x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{2 x} = 4 y$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $4 y = 10^{2 x}$ .

$4 y = 10^{2 x}$

Etapa 3.5.2

Divida cada termo em $4 y = 10^{2 x}$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 3.5.2.1

Divida cada termo em $4 y = 10^{2 x}$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{10^{2 x}}{4}$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y}{4} = \frac{10^{2 x}}{4}$

Etapa 3.5.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{10^{2 x}}{4}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x))}}{4}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{2 (\frac{1}{2}) \cdot \log (4 x)}}{4}$

Etapa 5.2.3.1.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{1 \cdot \log (4 x)}}{4}$

Etapa 5.2.3.2

Simplifique $1 \cdot \log (4 x)$ movendo $1$ para dentro do logaritmo.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{\log ({(4 x)}^{1})}}{4}$

Etapa 5.2.3.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

Etapa 5.2.3.4

Simplifique.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

Etapa 5.2.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

Etapa 5.2.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{10^{2 x}}{4})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 (\frac{10^{2 x}}{4}))$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 (\frac{10^{2 x}}{4}))$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (10^{2 x})$

Etapa 5.3.4

Use as regras logarítmicas para mover $2 x$ para fora do expoente.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \log (10))$

Etapa 5.3.5

A base do logaritmo $10$ de $10$ é $1$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \cdot 1)$

Etapa 5.3.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Etapa 5.3.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.7.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Etapa 5.3.7.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Etapa 5.3.7.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$