Matemática discreta Exemplos

$C (t) = 60 e^{- 0.14 t}$

Etapa 1

Escreva $C (t) = 60 e^{- 0.14 t}$ como uma equação.

$y = 60 e^{- 0.14 t}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$t = 60 e^{- 0.14 y}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $60 e^{- 0.14 y} = t$ .

$60 e^{- 0.14 y} = t$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $60 e^{- 0.14 y} = t$ por $60$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $60 e^{- 0.14 y} = t$ por $60$ .

$\frac{60 e^{- 0.14 y}}{60} = \frac{t}{60}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $60$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{60 e^{- 0.14 y}}{60} = \frac{t}{60}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $e^{- 0.14 y}$ por $1$ .

$e^{- 0.14 y} = \frac{t}{60}$

Etapa 3.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- 0.14 y}) = \ln (\frac{t}{60})$

Etapa 3.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Expanda $\ln (e^{- 0.14 y})$ movendo $- 0.14 y$ para fora do logaritmo.

$- 0.14 y \ln (e) = \ln (\frac{t}{60})$

Etapa 3.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$- 0.14 y \cdot 1 = \ln (\frac{t}{60})$

Etapa 3.4.3

Multiplique $- 0.14$ por $1$ .

$- 0.14 y = \ln (\frac{t}{60})$

Etapa 3.5

Divida cada termo em $- 0.14 y = \ln (\frac{t}{60})$ por $- 0.14$ e simplifique.

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Etapa 3.5.1

Divida cada termo em $- 0.14 y = \ln (\frac{t}{60})$ por $- 0.14$ .

$\frac{- 0.14 y}{- 0.14} = \frac{\ln (\frac{t}{60})}{- 0.14}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum de $- 0.14$ .

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Etapa 3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 0.14 y}{- 0.14} = \frac{\ln (\frac{t}{60})}{- 0.14}$

Etapa 3.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{t}{60})}{- 0.14}$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{\ln (\frac{t}{60})}{0.14}$

Etapa 3.5.3.2

Multiplique por $1$ .

$y = - \frac{1 \ln (\frac{t}{60})}{0.14}$

Etapa 3.5.3.3

Fatore $0.14$ de $0.14$ .

$y = - \frac{1 \ln (\frac{t}{60})}{0.14 (1)}$

Etapa 3.5.3.4

Separe as frações.

$y = - (\frac{1}{0.14} \cdot \frac{\ln (\frac{t}{60})}{1})$

Etapa 3.5.3.5

Divida $1$ por $0.14$ .

$y = - (7.\overline{142857} \frac{\ln (\frac{t}{60})}{1})$

Etapa 3.5.3.6

Divida $\ln (\frac{t}{60})$ por $1$ .

$y = - (7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60}))$

Etapa 3.5.3.7

Multiplique $7.\overline{142857}$ por $- 1$ .

$y = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$

Etapa 4

Replace $y$ with $C^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$C^{- 1} (t) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$

Etapa 5

Verifique se $C^{- 1} (t) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$ é o inverso de $C (t) = 60 e^{- 0.14 t}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $C^{- 1} (C (t)) = t$ e $C (C^{- 1} (t)) = t$ .

Etapa 5.2

Avalie $C^{- 1} (C (t))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$C^{- 1} (C (t))$

Etapa 5.2.2

Avalie $C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t})$ substituindo o valor de $C$ em $C^{- 1}$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{60 e^{- 0.14 t}}{60})$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $60$ .

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum.

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{60 e^{- 0.14 t}}{60})$

Etapa 5.2.3.2

Divida $e^{- 0.14 t}$ por $1$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} \ln (e^{- 0.14 t})$

Etapa 5.2.4

Use as regras logarítmicas para mover $- 0.14 t$ para fora do expoente.

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} (- 0.14 t \ln (e))$

Etapa 5.2.5

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} (- 0.14 t \cdot 1)$

Etapa 5.2.6

Multiplique $- 0.14$ por $1$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} (- 0.14 t)$

Etapa 5.2.7

Multiplique $- 7.\overline{142857} (- 0.14 t)$ .

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Etapa 5.2.7.1

Multiplique $- 0.14$ por $- 7.\overline{142857}$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = 1 t$

Etapa 5.2.7.2

Multiplique $t$ por $1$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = t$

Etapa 5.3

Avalie $C (C^{- 1} (t))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$C (C^{- 1} (t))$

Etapa 5.3.2

Avalie $C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60}))$ substituindo o valor de $C^{- 1}$ em $C$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60}))}$

Etapa 5.3.3

Simplifique $- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$ movendo $7.\overline{142857}$ para dentro do logaritmo.

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln ({(\frac{t}{60})}^{7.\overline{142857}}))}$

Etapa 5.3.4

Aplique a regra do produto a $\frac{t}{60}$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{t^{7.\overline{142857}}}{60^{7.\overline{142857}}}))}$

Etapa 5.3.5

Eleve $60$ à potência de $7.\overline{142857}$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{t^{7.\overline{142857}}}{5024355493192.33}))}$

Etapa 5.3.6

Multiplique por $1$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{1 t^{7.\overline{142857}}}{5024355493192.33}))}$

Etapa 5.3.7

Fatore $5024355493192.33$ de $5024355493192.33$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{1 t^{7.\overline{142857}}}{5024355493192.33 (1)}))}$

Etapa 5.3.8

Separe as frações.

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{1}{5024355493192.33} \cdot \frac{t^{7.\overline{142857}}}{1}))}$

Etapa 5.3.9

Divida $1$ por $5024355493192.33$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (0 (\frac{t^{7.\overline{142857}}}{1})))}$

Etapa 5.3.10

Divida $t^{7.\overline{142857}}$ por $1$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (0 t^{7.\overline{142857}}))}$

Etapa 5.3.11

Multiplique $- 0.14 (- \ln (0 t^{7.\overline{142857}}))$ .

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Etapa 5.3.11.1

Multiplique $- 1$ por $- 0.14$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{0.14 \ln (0 t^{7.\overline{142857}})}$

Etapa 5.3.11.2

Simplifique $0.14 \ln (0 t^{7.\overline{142857}})$ movendo $0.14$ para dentro do logaritmo.

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{\ln ({(0 t^{7.\overline{142857}})}^{0.14})}$

Etapa 5.3.12

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 {(0 t^{7.\overline{142857}})}^{0.14}$

Etapa 5.3.13

Aplique a regra do produto a $0 t^{7.\overline{142857}}$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 (0^{0.14} {(t^{7.\overline{142857}})}^{0.14})$

Etapa 5.3.14

Eleve $0$ à potência de $0.14$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 (0.01\overline{6} {(t^{7.\overline{142857}})}^{0.14})$

Etapa 5.3.15

Multiplique os expoentes em ${(t^{7.\overline{142857}})}^{0.14}$ .

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Etapa 5.3.15.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 (0.01\overline{6} t^{7.\overline{142857} \cdot 0.14})$

Etapa 5.3.15.2

Multiplique $7.\overline{142857}$ por $0.14$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 (0.01\overline{6} t)$

Etapa 5.3.16

Multiplique $0.01\overline{6}$ por $60$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 1 t$

Etapa 5.4

Como $C^{- 1} (C (t)) = t$ e $C (C^{- 1} (t)) = t$ , então, $C^{- 1} (t) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$ é o inverso de $C (t) = 60 e^{- 0.14 t}$ .

$C^{- 1} (t) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$