Matemática discreta Exemplos

$s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$

Etapa 1

Escreva $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ como uma equação.

$y = - 16 t^{2} + 32 t$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$t = - 16 y^{2} + 32 y$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $- 16 y^{2} + 32 y = t$ .

$- 16 y^{2} + 32 y = t$

Etapa 3.2

Subtraia $t$ dos dois lados da equação.

$- 16 y^{2} + 32 y - t = 0$

Etapa 3.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.4

Substitua os valores $a = - 16$ , $b = 32$ e $c = - t$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (- 16 \cdot (- t))}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Eleve $32$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 16 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 16 \cdot - 1$ .

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Etapa 3.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 16$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 64 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.5.1.2.2

Multiplique $64$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.5.1.3

Fatore $64$ de $1024 - 64 t$ .

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Etapa 3.5.1.3.1

Fatore $64$ de $1024$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.5.1.3.2

Fatore $64$ de $- 64 t$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) + 64 (- t)}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.5.1.3.3

Fatore $64$ de $64 (16) + 64 (- t)$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.5.1.4

Reescreva $64 (16 - t)$ como $8^{2} (4^{2} - t)$ .

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Etapa 3.5.1.4.1

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.5.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (4^{2} - t)}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{4^{2} - t}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.5.1.6

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $- 16$ .

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$

Etapa 3.5.3

Simplifique $\frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - t}}{4}$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.1

Eleve $32$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 16 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 16 \cdot - 1$ .

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Etapa 3.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 16$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 64 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.6.1.2.2

Multiplique $64$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.6.1.3

Fatore $64$ de $1024 - 64 t$ .

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Etapa 3.6.1.3.1

Fatore $64$ de $1024$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.6.1.3.2

Fatore $64$ de $- 64 t$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) + 64 (- t)}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.6.1.3.3

Fatore $64$ de $64 (16) + 64 (- t)$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.6.1.4

Reescreva $64 (16 - t)$ como $8^{2} (4^{2} - t)$ .

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Etapa 3.6.1.4.1

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.6.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (4^{2} - t)}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{4^{2} - t}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.6.1.6

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $- 16$ .

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$

Etapa 3.6.3

Simplifique $\frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - t}}{4}$

Etapa 3.6.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1.1

Eleve $32$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 16 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 16 \cdot - 1$ .

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Etapa 3.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 16$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 64 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.7.1.2.2

Multiplique $64$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.7.1.3

Fatore $64$ de $1024 - 64 t$ .

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Etapa 3.7.1.3.1

Fatore $64$ de $1024$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.7.1.3.2

Fatore $64$ de $- 64 t$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) + 64 (- t)}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.7.1.3.3

Fatore $64$ de $64 (16) + 64 (- t)$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.7.1.4

Reescreva $64 (16 - t)$ como $8^{2} (4^{2} - t)$ .

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Etapa 3.7.1.4.1

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.7.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (4^{2} - t)}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{4^{2} - t}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.7.1.6

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{2 \cdot - 16}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $2$ por $- 16$ .

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$

Etapa 3.7.3

Simplifique $\frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - t}}{4}$

Etapa 3.7.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$

Etapa 3.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}$

$y = \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$

$y = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}$

$y = \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$

Etapa 4

Replace $y$ with $s^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$

Etapa 5

Verifique se $s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$ é o inverso de $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ e $s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 16]$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{16 - t}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$16 - t \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $t$ .

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Etapa 5.3.2.1

Subtraia $16$ dos dois lados da desigualdade.

$- t \geq - 16$

Etapa 5.3.2.2

Divida cada termo em $- t \geq - 16$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.2.1

Divida cada termo em $- t \geq - 16$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- t}{- 1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{t}{1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.2.2

Divida $t$ por $1$ .

$t \leq \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.2.3.1

Divida $- 16$ por $- 1$ .

$t \leq 16$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $t$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 16]$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ .

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Etapa 5.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$ é o intervalo de $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ , e o intervalo de $s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$ é o domínio de $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ , então, $s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$ é o inverso de $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ .

$s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$

Etapa 6