Matemática discreta Exemplos

$f (x) = x (- 4 x + 180)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = x (- 4 x + 180)$ como uma equação.

$y = x (- 4 x + 180)$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = y (- 4 y + 180)$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $y (- 4 y + 180) = x$ .

$y (- 4 y + 180) = x$

Etapa 3.2

Simplifique $y (- 4 y + 180)$ .

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Etapa 3.2.1

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y (- 4 y) + y \cdot 180 = x$

Etapa 3.2.1.2

Reordene.

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Etapa 3.2.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 4 y \cdot y + y \cdot 180 = x$

Etapa 3.2.1.2.2

Mova $180$ para a esquerda de $y$ .

$- 4 y \cdot y + 180 \cdot y = x$

Etapa 3.2.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.2.1

Mova $y$ .

$- 4 (y \cdot y) + 180 \cdot y = x$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$- 4 y^{2} + 180 \cdot y = x$

$- 4 y^{2} + 180 y = x$

Etapa 3.3

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$- 4 y^{2} + 180 y - x = 0$

Etapa 3.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5

Substitua os valores $a = - 4$ , $b = 180$ e $c = - x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 180 \pm \sqrt{180^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot (- x))}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.1

Eleve $180$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 - 4 \cdot - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 4 \cdot - 1$ .

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Etapa 3.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 + 16 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.6.1.2.2

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 - 16 x}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.6.1.3

Fatore $16$ de $32400 - 16 x$ .

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Etapa 3.6.1.3.1

Fatore $16$ de $32400$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025) - 16 x}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.6.1.3.2

Fatore $16$ de $- 16 x$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025) + 16 (- x)}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.6.1.3.3

Fatore $16$ de $16 (2025) + 16 (- x)$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.6.1.4

Reescreva $16 (2025 - x)$ como ${(2^{2})}^{2} (2025 - x)$ .

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Etapa 3.6.1.4.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{4^{2} (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 180 \pm 2^{2} \sqrt{2025 - x}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.6.1.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{- 8}$

Etapa 3.6.3

Simplifique $\frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{- 8}$ .

$y = \frac{45 \pm \sqrt{2025 - x}}{2}$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1.1

Eleve $180$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 - 4 \cdot - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 4 \cdot - 1$ .

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Etapa 3.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 + 16 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.7.1.2.2

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 - 16 x}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.7.1.3

Fatore $16$ de $32400 - 16 x$ .

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Etapa 3.7.1.3.1

Fatore $16$ de $32400$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025) - 16 x}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.7.1.3.2

Fatore $16$ de $- 16 x$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025) + 16 (- x)}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.7.1.3.3

Fatore $16$ de $16 (2025) + 16 (- x)$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.7.1.4

Reescreva $16 (2025 - x)$ como ${(2^{2})}^{2} (2025 - x)$ .

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Etapa 3.7.1.4.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{4^{2} (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.7.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 180 \pm 2^{2} \sqrt{2025 - x}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.7.1.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{- 8}$

Etapa 3.7.3

Simplifique $\frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{- 8}$ .

$y = \frac{45 \pm \sqrt{2025 - x}}{2}$

Etapa 3.7.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}$

Etapa 3.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 3.8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.8.1.1

Eleve $180$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 - 4 \cdot - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 4 \cdot - 1$ .

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Etapa 3.8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 + 16 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.8.1.2.2

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 - 16 x}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.8.1.3

Fatore $16$ de $32400 - 16 x$ .

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Etapa 3.8.1.3.1

Fatore $16$ de $32400$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025) - 16 x}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.8.1.3.2

Fatore $16$ de $- 16 x$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025) + 16 (- x)}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.8.1.3.3

Fatore $16$ de $16 (2025) + 16 (- x)$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.8.1.4

Reescreva $16 (2025 - x)$ como ${(2^{2})}^{2} (2025 - x)$ .

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Etapa 3.8.1.4.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{4^{2} (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.8.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.8.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 180 \pm 2^{2} \sqrt{2025 - x}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.8.1.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{- 8}$

Etapa 3.8.3

Simplifique $\frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{- 8}$ .

$y = \frac{45 \pm \sqrt{2025 - x}}{2}$

Etapa 3.8.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$

Etapa 3.9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}$

$y = \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$

$y = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}$

$y = \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$ é o inverso de $f (x) = x (- 4 x + 180)$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = x (- 4 x + 180)$ e $f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = x (- 4 x + 180)$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 2025]$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{2025 - x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$2025 - x \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Subtraia $2025$ dos dois lados da desigualdade.

$- x \geq - 2025$

Etapa 5.3.2.2

Divida cada termo em $- x \geq - 2025$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x \geq - 2025$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 2025}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 2025}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 2025}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.2.3.1

Divida $- 2025$ por $- 1$ .

$x \leq 2025$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 2025]$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = x (- 4 x + 180)$ .

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Etapa 5.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$ é o intervalo de $f (x) = x (- 4 x + 180)$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$ é o domínio de $f (x) = x (- 4 x + 180)$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$ é o inverso de $f (x) = x (- 4 x + 180)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$

Etapa 6