Matemática discreta Exemplos

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ como uma equação.

$y = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \sin (\sqrt{e^{y} + 1})$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$ .

$\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$

Etapa 3.2

Substitua $u$ por $\sqrt{e^{y} + 1}$ .

$\sin (u) = x$

Etapa 3.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $u$ de dentro do seno.

$u = \arcsin (x)$

Etapa 3.4

Substitua $\sqrt{e^{y} + 1}$ por $u$ e resolva $\sqrt{e^{y} + 1} = \arcsin (x)$

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Etapa 3.4.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{e^{y} + 1}}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Etapa 3.4.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{e^{y} + 1}$ como ${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.2.1

Simplifique ${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.4.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.4.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Etapa 3.4.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Etapa 3.4.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(e^{y} + 1)}^{1} = {\arcsin (x)}^{2}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Simplifique.

$e^{y} + 1 = {\arcsin (x)}^{2}$

Etapa 3.4.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.4.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$e^{y} = {\arcsin (x)}^{2} - 1$

Etapa 3.4.3.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y}) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Etapa 3.4.3.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.3.3.1

Expanda $\ln (e^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (e) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Etapa 3.4.3.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$y \cdot 1 = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Etapa 3.4.3.3.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$y = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ é o inverso de $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1})) = \ln ({\arcsin (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))}^{2} - 1)$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1))$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{e^{\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)} + 1})$

Etapa 5.3.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} - 1 + 1})$

Etapa 5.3.4

Some $- 1$ e $1$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} + 0})$

Etapa 5.3.5

Some ${\arcsin (x)}^{2}$ e $0$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2}})$

Etapa 5.3.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\arcsin (x))$

Etapa 5.3.7

As funções seno e arco seno são inversos.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ é o inverso de $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ .

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$